約瑟夫環

場景：

一羣猴子排成一圈，按1,2,…,n依次編號。而後從第1只開始數，數到第m只,把它踢出圈，從它後面再開始數， 再數到第m只，在把它踢出去…，如此不停的進行下去， 直到最後只剩下一隻猴子爲止，那隻猴子就叫作大王。要求編程模擬此過程，輸入m、n, 輸出最後那個大王的編號。

方法1.經過從隊首彈出再插入隊尾的方法。注意雖然這種方法使猴子的編號看似發生變化了，但其實到最後編號仍是正確的，就是不用擔憂編號變化的問題。能夠本身畫一畫就知道了。

function king($n,$m) {
    $monkey = range(1,$n);//模擬創建一個連續數組
    $i = 0;
    while(count($monkey) > 1) {
        $i ++ ; // 開始查數
        $head = array_shift($monkey); //直接一個一個出列最前面的猴子
        if($i % $m != 0) {
            array_push($monkey,$head); // 若是沒數到m或m的倍數,則把該猴放回尾部去.
        } //不然就拋棄掉了
    }
    return $monkey[0];
}

//echo '剩餘',king(3,4),'號猴子';  #2

echo '剩餘',king(6,9),'號猴子';  #

方法2.經過分析得出一個公式。

每一個猴子出列後，剩下的猴子又組成了另外一個子問題。只是他們的編號變化了。第一個出列的猴子確定是a[1]=m(mod)n(m/n的餘數)，他除去後剩 下的猴子是a[1]+1,a[1]+2,…,n,1,2,…a[1]-2,a[1]-1，對應的新編號是1,2,3…n-1。設此時某個猴子的新編號是 i，他原來的編號就是(i+a[1])%n。因而，這便造成了一個遞歸問題。假如知道了這個子問題(n-1個猴子)的解是x，那麼原問題(n個猴子)的解 即是：(x+m%n)%n=(x+m)%n。問題的起始條件：若是n=1,那麼結果就是1。

    function king($n,$m) {  
        $r=0;  
        for($i=2; $i<=$n; $i++) {
            $r=($r+$m)%$i;  
        }
        return $r+1;  
    }  
    echo king(10,3)."是猴王";