RSA超詳細講解

RSA

網上有不少RSA講解，可是看了我這篇，你必定能徹底弄明白RSA

RSA是一種非對稱加密算法，要加密一段數據，首先咱們要拿到公鑰和私鑰。

首選取兩個互質數 p q
那麼p * q 獲得 N
這時我要計算出φ(N)
φ函數φ(N)是小於或等於N的正整數中與N互質的數的數目。

根據歐拉公式，我知道

φ(N) = (p-1)*(q-1)

固然前提p q都是質數

如今咱們舉例子
首先我選擇兩個互質數 p=11 q=13
因此N = pq = 1113 = 143
根據公式獲得φ(N) = 120
這時候咱們隨機選擇一個整數e，條件是1< e < φ(n)，且e與φ(n) 互質。
如今咱們選擇e =7
接着咱們計算e對φ(n)的模逆元

根據歐拉定理)獲得的公式

e*d ≡ 1 (mod φ(n))

這個公式簡單的說就是 e*d除以φ(N)獲得的餘數爲1

這個公式能夠轉換成

e*d - 1 = kφ(n)

因此，已知 e = 7 φ(n) = 120

7d + 120*k = 1

展轉相除法計算d

120 = 7 * 17 + 1
17 = 17 * 1

1 = 120 * 1 + 7 * (-17)

1 = 120 * 1 + 7 *(-17)
最終得出，d = -17 k = 1

雖然咱們獲得了 d=-17但 在rsa中 d必須是一個正整數，在工程中，RSA的pq會無窮大過公鑰質數e ，因此根本不會出現這種情況。可是若是出現負數，咱們會將它翻轉

if(d<0)
    d=d+φ(n)

因此獲得 e對φ(n)的模逆元 爲 120 + （-17）也就是103

RSA中 公鑰就是 N，e 而 私鑰就是N，d

咱們上面的例子 公鑰 (143,7) 私鑰(143, 103)

加密

m^e ≡ c (mod n)

要加密的m = 13

13^7 = 117 (mod 143)

解密

c^d ≡ m (mod n)

要解密的是c = 117

117^103 = 13 (mod 143)

上面能夠用快速冪取餘來計算出餘數

#include <stdio.h>
long PowerMod (int a, int b, int c) {
    int  ans = 1;
    a = a % c;
    while(b>0) {
        if(b % 2 == 1)
            ans = (ans * a) % c;
        b = b/2;       //   b>>=1;
        a = (a * a) % c;
    }
    return ans;
}

rsa 爲何安全。

　　（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。

　　（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。

　　（3）n=pq。只有將n因數分解，才能算出p和q。

這段轉自阮一峯大大的博客

道理很簡單，只要能將N進行因式分解，那麼RSA的就再也不安全。

因此然你可因式分解143 = 13* 11
可是你不可能分解

18728736598172301274983275897298461982739812703985619727398173
*
13824985149871927398172398479818203801740957019283098109283757

最後附上一個擴展歐幾里得算法，也就是擴展展轉相除法的c實現

int gcdEx(int a, int b, int *x, int *y) 
 {
     if(b==0)
     {
         *x = 1,*y = 0;
         return a;
     }
     else
     {
         int r = gcdEx(b, a%b, x, y); /* r = GCD(a, b) = GCD(b, a%b) */
         int t = *x;
         *x = *y;
         *y = t - a/b * *y;
         return r;
     }
 }

固然，最後仍是再換個其餘的數來計算一遍擴展展轉相除法

53 102 互質

102 = 53 *1 +49
    53 = 49 *1 + 4
    49 = 12 * 4 + 1

    //餘數放到前面
    49 = 102*1 + 53*(-1)
    4 = 53*1 +49 *(-1)
    1 = 49 * 1 + 4 *(-12)

    //放回去
    1 = 49 * 1 + 4 *(-12)
    1 = 49 * 1 + [53*1 +49 *(-1)] *（-12）
    1 = 49*(13)+53*(-12)
    1 = [102*1 + 53*（-1）]*13 + 53*(-12)
    1 = 102 * 13 + 53* (-25)

最後在 用

102 + (-25) 得出 53 對102 的逆元 爲77

其餘文章

https://github.com/channg/my