爲何哈希函數要模質數

哈希函數通常都要取模，取模通常都要取質數，那麼爲何必定要取質數呢？

作以下分析：

概念與公式

設咱們經過哈希函數獲得的未取模的值爲X，一質數模數爲a，非質數模數爲b，X對a取模後的結果爲Ya，對b取模後的結果爲Yb

則有

\[ Y_a\equiv X \pmod a \\ Y_b\equiv X\pmod b \\ c(x \; mod \; y)=(cx)\; mod \; (cy)\\ (a+b)\; mod \; p=(a\; mod\; p+b\; mod\; p)\;mod \;p \]

以上公式與概念均已被證實，是推論的基石

假設全部X隨機出現，則有

• 模質數時：
  \[ Y_a \in [0,a-1],均勻分佈 \]

• 模合數時：
  \[ Y_b \in [0,b-1],均勻分佈 \]

假設X成公差爲m的等差數列出現,且m與b存在公因數c，則有

• 模質數時：
  \[ 記首項爲X_1,第i項爲X_i,第i項取模後獲得Y_i,則\\ Y_i=(X_1+(i-1)m)\;mod\;a\\ \qquad\qquad\qquad\quad =(X_1\; mod \; a+((i-1)m)\;mod\;a)\;mod\;a\\ \qquad\quad =(Y_1+k_i)\;mod\;a\quad,k_i\in[0,a-1] \]
  可見仍有
  \[ Y_i\in[0,a-1] \]

• 模合數時：
  \[ Y_i=(X_1+(i-1)m)\;mod\;b\\ \qquad\qquad\qquad\quad =(X_i\; mod \; b+((i-1)m)\;mod\;b)\;mod\;b\\\ \qquad\qquad\qquad\quad=(Y_1+(i-1)(m/c)\;mod\;(b/c))\; mod \;b\\ \qquad\qquad\qquad=(Y_1+k_i)\;mod \;b\quad,k_i\in[0,b/c-1] \]
  可見Yi取值範圍縮小到了原來的1/c，即成等差數列的X每隔b/c-1個數據就會出現一次衝突

以上就是公式推導，下面能夠用實驗證實一下

數據實驗

以一組以108爲首項，27爲公差的等差數列觀察，有以下結果:

能夠看到，模合數的狀況下每隔2項就會發生一次碰撞，而模質數的狀況下沒有發生碰撞，這樣的例子還有不少，讀者能夠自行枚舉實驗，相信這個例子已經能夠說明問題了

總結

之因此要模質數是由於對於特殊數據合數會發生大量碰撞，而質數能夠避免這種狀況 以上。