裝載問題-回溯法

問題描述：

　　有一批共n個集裝箱要裝上2艘載重量分別爲c1和c2的輪船，其中集裝箱i的重量是wi，且不能超。

算法思想：

　　最優裝載方案： 將第一艘輪船儘量的裝滿；　　而後將剩餘的裝載第二艘船上

算法描述：

template <class Type>
class Loading { friend Type MaxLoading(Type [],Type,int); private: void Backtrack(int i); int n; Type * w,c,cw,bestw; }; template <class Type>
void Loading<Type>::Backtrack(int i) { if(i>n) { if(cw>bestw) bestw = cw; return; } if(cw+w[i] <= c) { cw += w[i]; Backtrack(i+1); cw -= w[i]; } Backtrack(i+1); } template <class Type> Type MaxLoading(Type w[],Type c,int n) { Loading<Type> X; X.w = w; X.c = c; X.n = n; X.bestw = 0; X.cw = 0; X.Backtrack(1); return X.bestw; }

上界函數：

引入上界函數，用於剪去不含最優解的子樹：

template <class Type>
class Loading { friend Type MaxLoading(Type [],Type,int); private: void Backtrack(int i); int n; Type * w, c, cw, bestw, r;//剩餘集裝箱重量
}; template <class Type>
void Loading<Type>::Backtrack(int i) { if(i>n) { if(cw>bestw) bestw = cw; return; } r-=w[i];//計算剩餘的集裝箱的重量
    if(cw+w[i] <= c) { cw += w[i]; Backtrack(i+1); cw -= w[i]; } Backtrack(i+1); r+=w[i];//若是得不到最優解，再取消當前的集裝箱，表示未選，所以剩餘容量要再加上當前集裝箱重量
} template <class Type> Type MaxLoading(Type w[],Type c,int n) { Loading<Type> X; X.w = w; X.c = c; X.n = n; X.bestw = 0; X.cw = 0; X.r = 0; for(int i=1;i<=n;i++)//計算總共的剩餘集裝箱重量
        X.r += w[i]; X.Backtrack(1); return X.bestw; }

構造最優解：

 　　爲了構造最優解，必須在算法中保存最優解的記錄。所以須要兩個成員數組 x ,bestx，一個用於記錄當前的選擇，一個用於記錄最優記錄。

改進後的算法描述以下：

template <class Type>
class Loading { friend Type MaxLoading(Type [],Type,int); private: void Backtrack(int i); int n, * x, * bestx; Type * w, c, cw, bestw, r;//剩餘集裝箱重量
}; template <class Type>
void Loading<Type>::Backtrack(int i) { if(i>n) { if(cw>bestw) { for(j=1;j<=n;j++) bestx[j] = x[j]; bestw = cw; } return; } r-=w[i];//計算剩餘的集裝箱的重量
    if(cw+w[i] <= c) { x[i] =1; cw += w[i]; Backtrack(i+1); cw -= w[i]; } if(cw+r > bestw) { x[i] = 0; Backtrack(i+1); } r+=w[i];//若是得不到最優解，再取消當前的集裝箱，表示未選，所以剩餘容量要再加上當前集裝箱重量
} template <class Type> Type MaxLoading(Type w[],Type c,int n) { Loading<Type> X; X.w = w; X.c = c; X.n = n; X.bestx = bestx; X.bestw = 0; X.cw = 0; X.r = 0; for(int i=1;i<=n;i++)//計算總共的剩餘集裝箱重量
        X.r += w[i]; X.Backtrack(1); delete []X,x; return X.bestw; }

迭代回溯方式：

利用數組x所含的信息，可將上面方法表示成非遞歸的形式。省去O(n)遞歸棧空間。

template <class Type> Type MaxLoading(Type w[],Type c,int n,int bestx[]) { //迭代回溯法，返回最優裝載量及其相應解，初始化根節點
    int i =1; int *x = new int[n+1]; Type bestw = 0, cw = 0, r = 0; for(int j=1;j<=n;j++) r+=w[j]; while(true) { while(i<=n && cw+w[i]<=c) { r -= w[i]; cw +=w[i]; x[i] =1; i++; } if(i>n) { for(int j=1;j<=n;j++) bestx[j] = x[j]; bestw = cw; } else { r -= w[i]; x[i] = 0; i++; } while(cw+w[i] <= bestw) { i--; while(i>0 && !x[i]) { r+=w[i]; i--; } if(i == 0) { delete[] x; return bestw; } x[i] =0; cw -= w[i]; i++; } } }