積分隨想

積分，簡而言之，能夠分爲不定積分與定積分，不定積分只是導數的逆運算，而定積分是求一個函數的圖形在一個閉區間上和x座標軸圍成的面積，定積分的正式名稱是黎曼積分，用黎曼本身的話來講，就是把直角座標系上的函數的圖象用平行於y軸的直線把其分割成無數個矩形，而後把某個區間[a,b]上的矩形累加起來，所獲得的就是這個函數的圖象在區間[a,b]的面積，實際上，定積分的上下限就是區間的兩個端點a,b，在必定條件之下，函數f(x)在閉區間[a,b]上的定積分(黎曼積分)爲：

我將不定積分與定積分(黎曼積分)都叫做通常積分，黎曼積分的核心思想就是試圖經過無限逼近來肯定這個積分值，咱們稱這個積分值爲黎曼和，可是，黎曼積分也有一些不可積的問題，例如：狄利克雷函數，狄拉克δ函數.

狄利克雷函數

狄拉克δ函數

這時，咱們就要推廣黎曼積分，以求能解決一些不可積的問題.

咱們知道，黎曼積分他是面積的推廣，在至關普遍的場合，他也夠用了，可是，隨着人們對客觀世界的不斷深化，特別是在18世紀，有關熱，波，電磁等的研究須要，數學上必須對函數項級數，含參變量的函數等進行更深刻的探討，若導數是質點運動的速度，加速度的表達，那積分就是表達功，能量的重要思想，隨着物理學的發展，迫切須要一個比黎曼積分更有效的積分，他既保持黎曼積分的直觀性，又能在逐項積分方面比黎曼積分所需的條件有較大的改進，因而，勒貝格積分產生了.

在閉區間a和b之間對函數f的積分能夠被看做是求f的函數圖像下的面積，對於多項式這樣比較常見的函數來講這個定義簡而易懂，可是對於更加稀奇古怪的函數來講它是什麼意思呢?廣義地來講，對於什麼樣的函數「函數圖像下的面積」這個概念有意義?這個問題的答案具備很大的理論性和實際性意義，19世紀裏在數學中有把整個數學理論放到一個更加堅固的基礎上的趨勢，在這個過程當中數學家也試圖給積分計算提供一個穩固的定義，黎曼提出的黎曼積分紅功地爲積分運算提供了一個這樣的基礎，黎曼積分的出發點是構造一系列容易計算的面積，這些面積最後收斂於給定的函數的積分，這個定義很成功，爲許多其它問題提供了有用的答案，可是在求函數序列的極限的時候黎曼積分的效果不良，這使得這些極限過程難以分析，而這個分析好比在研究傅里葉級數、傅里葉變換和其它問題時倒是極其重要的，勒貝格積分可以更好地描述在什麼狀況下積分有極限，勒貝格積分所構造出的容易計算的面積與黎曼積分所構造的不一樣，這是勒貝格積分更加成功的主要緣由，勒貝格的定義也使得數學家可以計算更多種類的函數的積分，好比輸入值爲無理數時函數值爲0，輸入值爲有理數時函數值爲1的狄利克雷函數沒有黎曼積分，可是有勒貝格積分.