三角形

原題

　　Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.
　　For example, given the following triangle

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

 

　　The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).
　　Note:
　　Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.

 

題目大意

　　給定一個三角形，找出從頂到底的最小路徑和，每一步能夠從上一行移動到下一行相鄰的數字

解題思路

 

簡單的動態規劃，惟一的問題是題目裏給的空間複雜度的要求。先來講動態規劃，當選擇下面一層中的數字時，咱們只能選擇相鄰的數字。什麼是相鄰的數字呢？拿上面的例子來講，對於2，下一行裏3和4是相鄰的；對於3來講，6和5>是相鄰的；對於4來講，5和7是相鄰的；對於6來講，4和1是相鄰的；對於5來講，1和8是相鄰的；對於7來講，8和3是相鄰的；對於4/1/8/3來講，沒有下一行因此沒有相鄰數字了。若是咱們把數字都對應到數據在每一行中的下標上，可
以很容易發現，對於一個data[i][j]，和它相鄰的數字就是data[i+1][j]和data[i+1][j+1]。這樣一來問題就簡單了。假如咱們用minimus[i][j]來表示從第i行第j列處的數字開始往下到最後一層的最小路徑和，那麼有

minimus[i][j]=data[i][j]+min(minimums[i+1][j]+minimums[i+1][j+1])

然而上述描述中須要一個O（n^2）的額外空間，接下來咱們來解決這個問題。

因爲咱們在公式裏須要遞歸求解子問題，那麼咱們不妨反過來想一下，先求解子問題，而後再解決父問題。即，從下往上求解最小路徑和。咱們能夠發現以下規律，當咱們求解minimum[i][j]時，咱們會用到minimum[i+1][j]和minimum[i+1][j+1]，可是當求解完全部minimum[i]以後minimum[i+1]就沒有用處了。既然如此，咱們是否能夠複用同一個空間來存儲minimum的值呢？答案是能夠的。進一步觀察發現，存儲最後一行的每一個數字的最小路徑和須要n個空間>，所以至少咱們須要n個空間，這也是題目裏給出O（n）的空間複雜度的緣由；以後存儲倒數第二行時，咱們只須要前面的n-1個空間……以此類推，第一行只須要一個空間來存儲最小路徑和，這也正是咱們要求解的結果。

　　遞推方程：
　　f(0,0)=a[0][0]
　　f(i,0)=a[i][0]+f(i-1,0) (i>0)
　　f(i,i)=a[i][i]+f(i-1,i-1)(i>0)
　　f(i,j)=a[i][j]+MIN(f(i-1,j),f(i-1,j-1))(0

代碼實現

算法實現類

import java.util.List;

public class Solution {

    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {

        if (triangle == null || triangle.size() < 1) {
            return 0;
        }
        // 建立數組的第二維度
        int[][] minSum = new int[triangle.size()][];

        // 建立數組的第一維度
        for (int i = 0; i < minSum.length; i++) {
            minSum[i] = new int[i + 1];
        }
        // 設置第一行
        minSum[0][0] = triangle.get(0).get(0);
        // 設置其它行
        for (int i = 1; i < minSum.length; i++) {
            List<Integer> line = triangle.get(i);
            for (int j = 0; j < minSum[i].length; j++) {
                if (j == 0) {
                    minSum[i][0] = line.get(0) + minSum[i - 1][0];
                } else if (i == j) {
                    minSum[i][j] = line.get(j) + minSum[i - 1][j - 1];
                } else if (j < i) {
                    minSum[i][j] = line.get(j) + Math.min(minSum[i - 1][j], minSum[i - 1][j - 1]);
                }
            }
        }
        //找最後一行的最小值就是所求的解
        int min = minSum[minSum.length - 1][0];
        int length = minSum[minSum.length - 1].length;
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            if (min > minSum[length - 1][i]) {
                min = minSum[length - 1][i];
            }
        }

        return min;
    }
}