數據結構中的樹(二叉樹、二叉搜索樹、AVL樹)

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樹的概念

樹（英語：tree）是一種抽象數據類型（ADT）或是實做這種抽象數據類型的數據結構，用來模擬具備樹狀結構性質的數據集合。它是由n（n>=1）個有限節點組成一個具備層次關係的集合。把它叫作「樹」是由於它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的。它具備如下的特色：

• 每一個節點有零個或多個子節點；

• 沒有父節點的節點稱爲根節點；

• 每個非根節點有且只有一個父節點；

• 除了根節點外，每一個子節點能夠分爲多個不相交的子樹；

• 節點的度：一個節點含有的子樹的個數稱爲該節點的度；

• 樹的度：一棵樹中，最大的節點的度稱爲樹的度；

• 葉節點或終端節點：度爲零的節點；

• 父親節點或父節點：若一個節點含有子節點，則這個節點稱爲其子節點的父節點；

• 孩子節點或子節點：一個節點含有的子樹的根節點稱爲該節點的子節點；

• 兄弟節點：具備相同父節點的節點互稱爲兄弟節點；

• 節點的層次：從根開始定義起，根爲第1層，根的子節點爲第2層，以此類推；

• 樹的高度或深度：樹中節點的最大層次；

• 堂兄弟節點：父節點在同一層的節點互爲堂兄弟；

• 節點的祖先：從根到該節點所經分支上的全部節點；

• 子孫：以某節點爲根的子樹中任一節點都稱爲該節點的子孫。

• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的樹的集合稱爲森林；

二叉樹

每一個節點最多含有兩個子樹的樹稱爲二叉樹

• 平衡二叉樹（AVG樹）: 當且僅當任何節點的兩棵子樹的高度差不大於1的二叉樹
• 徹底二叉樹: 對於一顆二叉樹，假設其深度爲d(d>1)。除了第d層外，其它各層的節點數目均已達最大值，且第d層全部節點從左向右連續地緊密排列，這樣的二叉樹被稱爲徹底二叉樹，其中滿二叉樹的定義是全部葉節點都在最底層的徹底二叉樹;
• 排序二叉樹: (二叉查找數 Binary Search Tree), 也稱二叉搜索樹，有序二叉樹，任意一個結點左邊子節點的數據要比根結點的值小，右邊子節點的數據要比根結點的值大。可是若是二叉樹是單增的狀況會退化成鏈表

二叉樹的遍歷

1. 深度優先遍歷

• 先序遍歷 preorder 在先序遍歷中，咱們先訪問根節點，而後遞歸使用先序遍歷訪問左子樹，再遞歸使用先序遍歷訪問右子樹 根節點->左子樹->右子樹
• 中序遍歷 inorder 在中序遍歷中，咱們遞歸使用中序遍歷訪問左子樹，而後訪問根節點，最後再遞歸使用中序遍歷訪問右子樹 左子樹->根節點->右子樹
• 後序遍歷 postorder 在後序遍歷中，咱們先遞歸使用後序遍歷訪問左子樹和右子樹，最後訪問根節點 左子樹->右子樹->根節點
  )

2. 廣度優先遍歷（層次遍歷）

二叉樹反推

若是已知中序和先序，或者中序和後序，能夠肯定二叉樹的結構

eg:
先序：A B C D E F
中序: C B A E D F

先序找根，中序定兩邊
先序遍歷序列爲ABCDEF，第一個字母是A被打印出來，就說明A是根結點的數據。
再由中序遍歷序列是CBAEDF，能夠知道C和B是A的左子樹的結點，
E、D、F是A的右子樹的結點

而後咱們看先序中的C和B，它的順序是ABCDEF，B是在C的前面打印，因此B應該是A的左孩子，而C就只能是B的孩子，此時是左仍是右孩子還不肯定。再看中序序列是CBAEDF，C是在B的前面打印，這就說明C是B的左孩子，不然就是右孩子了

再看先序中的E、D、F，它的順序是ABCDEF，那就意味着D是A結點的右孩子，E和F是D的子孫，注意，它們中有一個不必定是孩子，還有多是孫子的。再來看中序序列是CBAEDF，因爲E在D的左側，而F在右側，因此能夠肯定E是D的左孩子，F是D的右孩子

注：若是已經先序和後序沒法判斷二叉樹結構

先序序列:ABC

後序序列:CBA

咱們能夠肯定A必定是根結點，但接下來，咱們沒法知道，哪一個結點是左子樹，哪一個是右子樹

二叉查找樹(二叉搜索樹)

節點的左子樹只包含小於當前節點的數。

節點的右子樹只包含大於當前節點的數。

全部左子樹和右子樹自身必須也是二叉搜索樹

Python實現二叉查找樹

參考如下兩篇文章（最好是本身畫圖容易理解）:

• 6天通吃樹結構—— 第一天 二叉查找樹
• 二叉排序樹、紅黑樹、AVL 樹最簡單的理解

二叉平衡樹

Python實現平衡二叉樹 刪除和添加調整的是最小不平衡子樹

平衡二叉樹 （Height-Balanced Binary Search Tree） 是一種二叉排序樹，

其中每個結點的左子樹和右子樹的高度差不超過1（小於等於1）

二叉樹的平衡因子 （Balance Factor） 等於該結點的左子樹深度減去右子樹深度的值稱爲平衡因子。平衡因子只多是[－1，0，1]。距離插入結點最近的，且平衡因子的絕對值大於1的結點爲根的子樹，稱爲最小不平衡子樹

平衡二叉樹就是二叉樹的構建過程當中，每當插入一個結點，看是否是由於樹的插入破壞了樹的平衡性，如果，則找出最小不平衡樹。在保持二叉樹特性的前提下，調整最小不平衡子樹中各個結點之間的連接關係，進行相應的旋轉，使之成爲新的平衡子樹。簡記爲： 步步調整，步步平衡

參考如下兩篇文章（最好是本身畫圖）:

注：第一篇文章中針對左右失衡和右左失衡的處理圖片和代碼中有誤，可是主要是看我的理解，做者能夠只對根節點進行失衡處理，而我這邊是按照第二篇文章說的，調整最小不平衡子樹

• 6天通吃樹結構—— 次日 平衡二叉樹
• 二叉排序樹、紅黑樹、AVL 樹最簡單的理解

對於其中添加元素的遞歸代碼的理解:

霍夫曼樹

（用於信息編碼）：帶權路徑最短的二叉樹稱爲哈夫曼樹或最優二叉樹；
應用: 壓縮文件

B樹(B-Tree)

一種對讀寫操做進行優化的自平衡的二叉查找樹，可以保持數據有序，擁有多餘兩個子樹。B樹是多路平衡查找樹，2階B樹纔是平衡二叉樹
應用: 數據庫存儲

M階的Btree的幾個重要特性：

1. 節點最多含有m棵字樹(指針), m-1個關鍵字(存的數據，空間)（m > 2）
2. 除根節點和葉子節點外，其餘每一個節點至少有ceil（m / 2）個子節點，（ceil爲上取整）
3. 若根節點不是葉子節點，則至少有兩棵子樹

M階: 這個由磁盤的頁大小決定，頁內存是4KB, 好處是一次性取數據就能夠取出這個節點即這個頁數據，不會形成IO讀取的浪費。

B+Tree

1. 每一個節點最多有m個子節點
2. 除根節點外，每一個節點至少有m/2個子節點，注意若是結果除不盡，就取上蒸，如 5/2=3
3. 根節點要麼是空，要麼是獨根，不然至少有2個子節點
4. 有k個子節點的節點必有k個關鍵字
5. 葉節點的高度一致

適合大數據的磁盤索引，經典的MySQL，全部的數據都存在葉子節點，其餘上層節點都是索引，增長了系統的穩定性以及遍歷查找效率。葉子節點之間是雙向指針，這一點就有利於範圍查找。

MyISAM存儲引擎的數據結構（非彙集）

索引文件和數據文件是分離的，非彙集（非聚族）

.MYD 存儲數據的文件

.MYI 存儲索引的文件

.FRM 表結構文件，管理索引和數據的框架

InnoDB索引的實現（彙集）

• 表數據自己就是按B+Tree組織的一個索引結構文件
• 彙集索引-葉子節點包含了完整的數據記錄，索引跟數據合併，MySQL默認節點大小爲16KB，因此說高度爲3的B+樹就可以存儲千萬級別的數據。
• 爲何InnoDB表必須有主鍵，而且推薦使用整形的自增主鍵？
  • 整形存儲佔用比較少，且比較容易，若是是uuid字符串還須要進行轉換且佔用空間大
  • 使用自增是爲了不二叉樹的頻繁自平衡分裂，自增主鍵，只須要每次都忘後面增長便可，不會形成大範圍的性能開銷
• 爲何非主鍵索引結構葉子節點存儲的是主鍵值？（一直性）

聯合索引的底層存儲結構

1. B站-100分鐘講透MySQL索引底層原理

2. MySQL底層索引算法

3. 爲何 MySQL 使用 B+ 樹

4. MYSQL-B+TREE索引原理-詳細解釋了SQL語句的執行過程

常見樹的應用場景

1. xml，html等，那麼編寫這些東西的解析器的時候，不可避免用到樹
2. 路由協議就是使用了樹的算法
3. mysql數據庫索引
4. 文件系統的目錄結構
5. 因此不少經典的AI算法其實都是樹搜索，此外機器學習中的decision tree也是樹結構