網絡流應用

刷了一天最大流的題，都快刷暈了，，

簡單總結幾個模型吧。

大部份內容來自學姐的PPT

拆點

一個很是有用的思想
限流 將對點的限制轉化爲對邊的限制

點的合併

這個還沒看到

最小割

最小割==最大流

一條增廣路中，必有一條邊滿流，滿流的流量即爲這條增廣路的流量，那麼刪除滿流的這條邊便可阻斷一條增廣路。刪去一些邊使源匯不連通即阻斷全部的增廣路，代價之和即爲最大流。

最大流=最小割 你能想到什麼？

大與小的轉換
留下最多與拿走最少的轉換
最大收益與最小損失的轉換
選最優與不選最差的轉換

何時轉換？
憑直覺，看經驗

最大流，每條增廣路流量其實是增廣路上的最小流量

INF邊

不會割掉不合法方案
使不合法方案通過inf邊，從而保證割出的方案合法

對偶圖

還沒看

點覆蓋集

點覆蓋集是無向圖 的一個點集，使得該圖中全部邊都至少有一個端點在該集合內。
最小點覆蓋集是在無向圖中，點數最少的點覆蓋集。
最小點權覆蓋集是在帶點權無向圖中，點權之和最小的點覆蓋集。

最小點覆蓋集=二分圖最大匹配數
證實：
邊分爲匹配邊和未匹配邊
未匹配邊必定至少有一個點被選中，不然會增長一個新的匹配，與最大匹配不符

最小點權覆蓋=二分圖最小割
證實：
把每個匹配看作一條增廣路，那麼就是選一些點，使剩下的點兩兩之間沒法連通，即割一些點使圖不連通，即最小割

點獨立集

點獨立集是無向圖 的一個點集，使得任兩個在該集合中的點在原圖中都不相鄰。
最大點獨立集是在無向圖 中，點數最多的點獨立集。
最大點權獨立集是在帶點權無向圖中，點權之和最大的點獨立集。

最大點獨立集=V-最小點覆蓋集
最大點獨立集=V-二分圖最大匹配數
證實：
一、當刪去最小覆蓋集時，剩下的點必定不會有連邊，即剩下的點在原圖中必定不相鄰，因此最大點獨立集至少包含非最小點覆蓋集的全部點
二、點覆蓋集已是最小，即最小點覆蓋集中若是再刪去點v，v必將和獨立集中的點有邊相連，不符合獨立集的概念，因此最大點獨立集至多包含非最小點覆蓋集的全部點
三、綜上所述，最大點獨立集=V-最小點覆蓋集

最大點權獨立集=總點權-最小點權覆蓋集
最大點權獨立集=總點權-二分圖最小割

最大流——最小割
最大點獨立集——最小點覆蓋集

路徑覆蓋

路徑覆蓋就是在一個DAG（有向無環圖）中找一些路經，使之覆蓋了圖中的全部頂點，且任何一個頂點有且只有一條路徑與之關聯。
最小路徑覆蓋就是最少的路徑條數的路徑覆蓋。

最小路徑覆蓋=V-二分圖最大匹配數
證實：
若匹配數爲0，由於每一個點都是一條路徑，因此最小路徑覆蓋數爲V；
當有一個匹配出現時，路徑數就減1

邊覆蓋

邊覆蓋集是無向圖的一個邊集，使得該圖中全部頂點都至少是集合內邊的一個端點。

最小邊覆蓋集是在無向圖中，邊數最少的邊覆蓋集。
最小邊覆蓋=最大點獨立集

閉合子圖

有向圖的閉合子圖是一個點集，該點集的全部出邊都還指向該點集
閉合子圖中，點權和最大的點集稱爲最大權閉合子圖

正點權和-最小割

最大密度子圖

沒看

01分數規劃

沒看