動態規劃程序設計(5)

時間 2019-12-11

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【例】求最長不降低序列

【問題描述】：算法

設有由n個不相同的整數組成的數列，記爲:b(1)、b(2)、……、b(n)且b(i)<>b(j) (i<>j)，若存在i1<i2<i3< … < ie 且有b(i1)<b(i2)< … <b(ie)則稱爲長度爲e的不降低序列。程序要求，當原數列給出以後，求出最長的不降低序列。數組

例如13，7，9，16，38，24，37，18，44，19，21，22，63，15。例中13，16，18，19，21，22，63就是一個長度爲7的不降低序列，同時也有7 ，9，16，18，19，21，22，63長度爲8的不降低序列。數據結構

【算法分析】：根據動態規劃的原理，由後往前進行搜索。ide

1）、對b(n)來講，因爲它是最後一個數，因此當從b(n)開始查找時，只存在長度爲1的不降低序列；spa

2）、若從b(n-1)開始查找，則存在下面的兩種可能性：code

①若b(n-1)<b(n)則存在長度爲2的不降低序列b(n-1)，b(n)。blog

②若b(n-1)>b(n)則存在長度爲1的不降低序列b(n-1)或b(n)。ci

3）、通常若從b(i)開始，此時最長不降低序列應該按下列方法求出:it

在b(i+1),b(i+2),…,b(n)中，找出一個比b(i)大的且最長的不降低序列，做爲它的後繼。event

【數據結構】：

爲算法上的須要，定義一個數組整數類型二維數組b(N,3)

1)、b(i,1)表示第i個數的數值自己；

2)、b(i,2)表示從i位置到達N的最長不降低序列長度

3)、b(i,3)表示從i位置開始最長不降低序列的下一個位置，若b[i,3]=0則表示後面沒有鏈接項。

【求解過程】：

① 從倒數第二項開始計算，後面僅有1項，比較一次，因63>15，不符合要求，長度仍爲1

② 從倒數第三項開始其後有2項，需作兩次比較，獲得目前最長的不降低序列爲2，以下表：

11	12	13	14	……	11	12	13	14
	22	63	15	……	21	22	63	15
	2	1	1	……	3	2	1	1
	13	0	0	……	12	13	0	0

【通常處理過程】：

①在i+1,i+2,…,n項中，找出比b[I,1]大的最長長度L以及位置K;

②若L>0，則b[I,2]:=L+1;b[I,3]:=k;

最後本題通過計算，其數據存儲表以下：

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
13	7	9	16	38	24	37	18	44	19	21	22	63	15
7	8	7	6	3	4	3	5	2	4	3	2	1	1
4	3	4	8	9	7	9	10	13	11	12	13	0	0

 1 初始化:  2 for i:=1 to n do
 3 begin
 4   read(b[i,1]);  5   b[i,2]:=1;b[i,3]:=0;  6 end;  7 下面給出求最長不降低序列的算法:  8 for i:=n-1 downto 1 do
 9 begin
10  L:=0;k:=0; 11  for j:=i+1 to n do
12   if(b[j,1]>b[i,1])and(b[j,2]>L) then begin
13 L:=b[j,2]; 14 k:=j; 15                                       end; 16  if L>0 then begin
17 b[i,2]:=L+1; 18 b[i,3]:=k; 19              end; 20 end; 21 下面找出最長不降低序列： 22 k:=1; 23 for j:=1 to n do
24  if b[j,2]>b[k,2] then k:=j; 25 最長不降低序列長度爲B(k, 2)序列 26 while k<>0  do
27 begin
28  write(b[k,1]:4); 29  k:=b[k,3]; 30 end;

 1 var 
 2 n,i,L,k,j:integer;
 3   b:array[1..100,1..3]of integer;
 4 begin
 5  readln(n);
 6  for i:=1 to n do
 7  begin
 8   read(b[i,1]);
 9   b[i,2]:=1;b[i,3]:=0;
10  end;
11 for i:=n-1 downto 1 do
12   begin
13    L:=0;k:=0;
14    for j:=i+1 to n do
15     if(b[j,1]>b[i,1])and(b[j,2]>L) then begin
16 L:=b[j,2]; k:=j;
17                                          end;
18   if L>0 then begin
19                b[i,2]:=L+1;b[i,3]:=k;
20               end;
21  end;
22  k:=1;
23  for j:=1 to n do
24   if b[j,2]>b[k,2] then k:=j;
25  writeln('max=',b[k,2]);
26  while k<>0  do
27   begin
28     write(b[k,1]:4);
29     k:=b[k,3];
30   end;
31  writeln;
32 end.

參考程序

程序運行結果：

輸入：14

13 7 9 16 38 24 37 18 44 19 21 22 63 15

輸出：max=8

7 9 16 18 19 21 22 63

 1 var
 2   i,n,max,st,en:longint;
 3   b:array[1..100000,1..3] of longint;
 4 procedure Init;
 5 var i:longint;
 6 begin
 7   readln(n);
 8   for i:=1 to n do
 9    begin
10      read(b[i,1]);
11      b[i,2]:=1; b[i,3]:=0;
12    end;
13 end;
14 procedure Lis;
15 var i,j,maxl,loca:longint;
16 begin
17   for i:=n-1 downto 1 do
18    begin
19      maxl:=0; loca:=0;
20      for j:=i+1 to n do
21       if b[i,1]<b[j,1] then
22         //begin
23           if b[j,2]>maxl then
24            begin
25              maxl:=b[j,2];
26              loca:=j;
27            end;
28         //end;
29      if maxl>0 then
30       begin
31         b[i,2]:=maxl+1;
32         b[i,3]:=loca;
33       end;
34    end;
35 end;
36 procedure Findmax;
37 var i:longint;
38 begin
39   max:=0;
40   for i:=1 to n do
41    if b[i,2]>max then
42     begin
43       max:=b[i,2];
44       st:=i;
45     end;
46 end;
47 procedure Outit;
48 var i:longint;
49 begin
50   writeln(max);
51   i:=st;
52   while i<>0 do
53    begin
54      write(b[i,1],' ');
55      i:=b[i,3];
56    end;
57 end;
58 begin
59   Init;
60   Lis;
61   Findmax;
62   Outit;
63 end.

個人板子 O(n²)

【例】攔截導彈1

某國爲了防護敵國的導彈襲擊，發展出一種導彈攔截系統。可是這種攔截系統有一個缺陷：雖然它的第一發炮彈可以到達任意的高度，可是之後每一發炮彈都不能高於前一發的高度。某天，雷達捕捉到敵國的導彈來襲，因爲該系統還在試用階段。因此只有一套系統，所以有可能不能攔截全部的導彈。輸入導彈依次飛來的高度(雷達給出的高度不大於30000的正整數)。計算這套系統最多能攔截多少導彈。

輸入：N顆依次飛來的導彈高度，（導彈個數<=1000）。

輸出：一套系統最多攔截的導彈數，並依次打印輸出被攔截導彈的高度。

在本題中不只要求輸出最優解，並且還要求輸出最優解的造成過程。爲此，咱們設置了一張記憶表C[i]，在按從後往前方式求解的過程當中，將每個子問題的最佳決策保存起來，避免在輸出方案時重複計算。

階段i：由右而左計算導彈n‥導彈1中可攔截的最多導彈數（1≤i≤n）；

狀態B[i]：因爲每一個階段中僅一個狀態，所以可經過一重循環

for i := n-1 downto 1 do 枚舉每一個階段的狀態B[i]；

決策k：在攔截導彈i以後應攔截哪一枚導彈可以使得B[i]最大（i+1≤k≤n），

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 I

13 7 9 16 38 24 37 18 44 19 21 22 63 15 A[I] {高度}

2 1 1 2 4 3 3 2 3 2 2 2 2 1 B[I] {可攔截數}

2 0 0 14 6 8 8 14 10 14 14 14 14 0 C[I] {再攔截}

 1 var
 2   a,b,c:array[1..1000] of longint;
 3   n,i,j,k,max:longint;
 4 begin
 5  n:=0;                                                           {初始化，讀入數據}
 6  while not eoln do 
 7 begin                                                               {eoln ：行結束}
 8 inc(n);read(a[n]); 
 9 b[n]:=1; c[n]:=0;
10   end;
11  readln;
12  for i:=n-1 downto 1 do                         {枚舉每個階段的狀態，設導彈i被攔截}
13 begin                  
14    max:=0; j:=0;
15    for k:=i+1 to n do                      {枚舉決策，計算最佳方案中攔截的下一枚導彈}
16     if (a[k]<=a[i]) and (b[k]>max) then begin  max:=b[k];j:=k; end;
17     b[i]:=max+1; c[i]:=j;                 {若導彈i以後攔截導彈j爲最佳方案，則記下}
18   end;
19   max := 0;
20   for i := 1 to n do                                 {枚舉求出一套系統能攔截的最多導數}
21     if b[i]>max then begin max:=b[i]; j:=i; end;
22   writeln('Max = ',b[j]);                                               {打印輸出結果}
23   while j>0 do 
24 begin
25    write(a[j]:5); j:=c[j];
26     end;
27  end.