約瑟夫環問題

題目：

n個數字（0,1,…,n-1）造成一個圓圈，從數字0開始，每次從這個圓圈中刪除第m個數字（第一個爲當前數字自己，第二個爲當前數字的下一個數字）。當一個數字刪除後，從被刪除數字的下一個繼續刪除第m個數字。求處在這個圓圈中剩下的最後一個數字。

（其實說了這麼多就是約瑟夫環問題）

分析：

之前學習鏈表的時候也見過約瑟夫環問題，當時是拿循環鏈表模擬整個過程來解決的，今天在網上看到一種分析。記錄下來：

    題目要求最後剩下的一個數(用last表示)，也就是這個數是第幾個，在（0,1,…,n-1）的位置是多少。明確了題目中的信息，因此咱們要對這個數進行概括。假設知道這個數在剩下的k個數中的位置，怎麼來求得它在剩餘K+1個數中的位置，這樣一步一步推導出它在有n個數中的位置，即爲所求。爲何能這樣概括，由於這個最後剩下的數在全部刪除過程當中有幸存活下來，只不過每次刪除了一個數，它的位置就變了，知道最後，它的位置爲0(只剩一個數了)。

如今來分析刪除第一個數後，last這個數的位置已以前有什麼樣的關係。在這n個數字中，第一個被刪除的數字是(m-1)%n，爲簡單起見記爲k。那麼刪除k以後的剩下n-1的數字爲0,1,…,k-1,k+1,…,n-1，而且下一個開始計數的數字是k+1。至關於在剩下的序列中，k+1排到最前面，從而造成序列k+1,…,n-1,0,…k-1。

k+1    ->    0
k+2    ->    1
…
n-1    ->    n-k-2
0       ->    n-k-1
…
k-1   ->   n-2

如今咱們知道了有n-1個數時last的位置，記爲f(n-1,m)，那麼如何來求得f(n,m)關於f(n-1,m)之間的關係？用X,Y來表示，以下：

Y              X

k+1    ->    0
k+2    ->    1
…
n-1    ->    n-k-2
0       ->     n-k-1
…
k-1    ->    n-2

y=( x+k+1) %n

k = (m-1)%n

因此y=(x+m)%n，最終關係以下：

                0                              n=1
f(n,m)={
                [f(n-1,m)+m]%n     n>1

根據關係能夠很方便的獲得代碼

代碼實現以下：

int LastRemaining(int n, int m)
{
    if(n < 1 || m < 1)
        return -1;

    int last = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i ++) 
        last = (last + m) % i;

    return last;
}

注：分析部份內容來自互聯網