代碼之謎（一） - 有限與無限（從整數的絕對值提及）

1、引子

開始本章以前我先提個問題：「若是一個整數的絕對值等於它本身，那麼這個數是幾？」若是你回答是 0 和 全部正數，那麼請你耐心讀完這篇文章吧。

本章是我『代碼之謎』系列的第二篇，前一篇『代碼之謎 - 開篇/前言/序』簡單介紹了計算機與數學的不一樣。

數學中有許多複雜深入的矛盾，數學家的工做就是解釋或者反駁這些矛盾， 例若有限與無限、連續與離散、存在與構造、邏輯與直觀、具體與抽象、概念與計算等等。

在本章中，咱們把目標縮小，主要討論內容

• 概念: 有限與無限
• 對象: 8bit整數

2、絕對值之謎

終於到主題了，也許你很想知道「負數的絕對值可能等於本身嗎？」，也就是 「若是x等於-x，那麼x有幾個解？」按照我一向的做風，我是不會輕易告訴你答案的。 《編程珠璣》記載，做者告訴了他同事一個結果，而不是方法，最後追悔莫及。 因此，我在這裏要告訴你方法，而不是告訴你答案。

告訴你答案以前，首先得回答個問題：「整數(8bit)的表示範圍是多少？」，（也許你已經把教科書的知識背下來了，是 -2^7 到 2^7-1，也就是 -128 到 +127，如今的計算機科學都快成爲文科了^_^）。

若是你不知道也不要緊，至少你知道 8bit 能夠表示的整數個數是 2^8 個，這個數等於多少無所謂，可是，它必定是個偶數(256)。

那麼這裏就有一個頗有意思的問題了，0既不是正數也不是負數，把0去掉的話，整數的個數就是奇數了，整數還剩 255 個。 奇數個整數不可能平均分紅兩部分(正數和負數)，要麼負數多一個，要麼正數多一個。事實就是，負數比正數多一個，最小的負數是 -128， 最大的整數是 127。

如今的問題是， -128 的絕對值是多少呢？ -(-128)等於多少呢？是溢出呢，仍是等於它本身呢？也許計算機課本沒有告訴你， 整數是不會出現溢出異常的，整數的溢出被認爲是正常的捨棄（其實只要很合理）。整數只有被0除纔會異常，而浮點數，即便被0除也不會拋出異常。 浮點數除0的操做將放在本系列浮點數篇討論。

絕對值等於本身的數有兩個，0 和最小的負數。

你可能要像香港電影裏女主角那樣歇斯底里的大喊「絕對值怎麼多是負數呢？ 不可能，我不信，我不信…」

忘掉你那可憐的數學知識吧，「發生這種事，你們都不想的。感情的事呢，是不能強求的。所謂吉人自有天相，作人呢，最要緊的就是開心…」跑題了，趕忙回來。

在經典數學（非皮亞諾算術系統，皮亞諾絕對是歐幾里德的鐵桿粉絲，要不怎麼會有如此天才的構想，這個之後會給你們普及）中，絕對值定義爲：「從原點到點A的距離，稱爲A的絕對值，它是一個非負數」。 既然講到了距離，不妨劇透一下（本系列「邏輯篇」會涉及到），兩個數的大小在數學中如何定義，「距離數軸原點的距離遠近」，計算機中大小如何定義的呢？給你們留個做業吧（別告訴我是設計編程語言或者設計電腦的科學家規定的，計算機科學絕對不是文科）。

計算機中沒有數軸，絕對值是如何定義的呢？看看java、C、Python的源碼（感謝那些開源大牛），和我們學的小學數學同樣。

abs(x) :=  (x >= 0) ? x : -x

翻譯過來就是，x的絕對值定義爲：正數和0的絕對值等於它本身，負數的絕對值等於-x。（這裏使用的是-x，而沒有用0-x，由於在浮點數中，這二者是有區別的。）

3、深刻 -x

那麼 -x 是如何計算的呢？ 計算是數學概念，在計算機中，咱們應該說 -x是如何求值的呢？還得回到源碼，我只看了linux中關於C的源碼，若是你看過其它語言源碼發現和我說的不一樣，請聯繫我。 學過計算機原理的都知道，負數在計算機中以補碼形式存儲，計算補碼的方式和取反操做相似。

符號位不變，其它位取反，最後加一。

好比 -5

原碼:       1000,0101
其它位取反:  1111,1010
加一:       1111,1011

當咱們求它的絕對值時如何操做呢

補碼:     1111,1011      這是-5在計算機中的表示
各位取反:  0000,0100
加一:     0000,0101      此時結果爲+5

如今咱們回到最小的負數問題，最小的負數在計算機中表示爲 1000,000，下面咱們對這個數操做

補碼:     1000,0000
各位取反:  0111,1111
加一:     1000,0000

神奇嗎，尼瑪，竟然又回到本身了。