數據結構之AVL樹
平衡樹和AVL
咱們先來回憶一下二分搜索樹所存在的一個問題：當咱們按順序往二分搜索樹添加元素時，那麼二分搜索樹可能就會退化成鏈表。例如，如今有這樣一顆二分搜索樹：
java
接下來咱們依次插入以下五個節點：七、六、五、四、3。按照二分搜索樹的特性，這棵樹就會變成以下這樣：node
可見在極端的狀況下，若是往一棵二分搜索樹添加元素時，徹底是按照順序添加的，那麼此時二分搜索樹就會退化成鏈表，$O(logn)$ 時間複雜度退化到 $O(n)$。 數據結構
這是由於二分搜索樹不具備自平衡的特性，爲了讓二分搜索樹不退化成鏈表，咱們就得設計一種機制，即使是在按順序添加元素時，也能讓二分搜索樹維持平衡。而具備自平衡特性的二叉樹或 m 叉樹，就稱之爲平衡樹。ide
而這個「平衡」其實有幾種狀況，有絕對平衡：任意節點的左右子樹高度相等（2-3樹）；高度平衡：任意節點的左右子樹高度相差不超過 1（AVL樹）；近似平衡：任意節點的左右子樹高度相差不超過 2，或者說從根節點到葉子節點的最長路徑不大於最短路徑的 2 倍（紅黑樹）。學習
基本上只要一棵樹的高度和節點數量之間的關係始終是 $O(logn)$，也就是不會發生退化狀況的，就能稱之爲平衡樹。若是敢說一棵樹是」平衡「的，就意味着它的高度是 logn 級別的。也就意味着對這棵樹的基本操做（增刪改查）是 logn 級別的。字體
其中 AVL 樹是最先被髮明出來的平衡樹，AVL 這個名稱來自於它的兩位發明者 G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis 的首字母，AVL 樹在他們1962年的論文中首次提出。因此，能夠認爲 AVL 樹是最先的自平衡二分搜索樹結構。AVL 樹遵循的是高度平衡，任意節點的左右子樹高度相差不超過 1。this
計算節點的高度和平衡因子
通過以上的介紹，如今咱們已經知道了AVL樹是一種平衡的二分搜索樹。那麼爲了維持AVL樹的平衡，咱們就得作一些額外的工做。首先，咱們得知道AVL樹的平衡狀態，能夠經過一些依據判斷AVL樹是否已經失衡了。若是處於失衡狀態，就須要對AVL樹作出一系列的調整使得它維持平衡。設計
判斷AVL樹是否平衡的主要依據是節點的平衡因子，而平衡因子則經過節點的高度計算得出。下圖中，用黑色字體標記的是節點的高度，藍色字體標記的是節點的平衡因子：3d
上圖中的二叉樹不是一棵合格的AVL樹，由於只有當一棵二叉樹全部節點的平衡因子都是 -一、0、1這 三個值時，這棵二叉樹才能算是一棵合格的AVL樹。以下圖所示：code
- 其中節點 4 的左子樹高度是 1，右子樹不存在，因此該節點的平衡因子是 $1-0=1$
- 節點7的左子樹不存在，右子樹高度是1，因此平衡因子是 $0-1=-1$
- 全部的葉子節點，不存在左右子樹，因此平衡因子都是 0
爲了計算節點的平衡因子，咱們須要在每一個節點中新增長一個字段，存儲節點的高度。而平衡因子的計算也很簡單，用左子節點的高度減去右子節點的高度就能夠了。也就是說，平衡因子就是左右子樹高度的差值。
接下來，咱們先實現AVL樹的基礎代碼：
package tree.avl;
import java.util.ArrayList;
/**
* AVL樹
*
* @author 01
* @date 2021-01-29
**/
public class AVLTree<K extends Comparable<K>, V> {
private class Node {
public K key;
public V value;
public Node left, right;
// 標識節點的高度
public int height;
public Node(K key, V value) {
this.key = key;
this.value = value;
left = null;
right = null;
// 新節點的默認高度
height = 1;
}
}
private Node root;
private int size;
public AVLTree() {
root = null;
size = 0;
}
public int getSize() {
return size;
}
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
/**
* 得到節點node的高度
*/
private int getHeight(Node node) {
return node == null ? 0 : node.height;
}
/**
* 得到節點node的平衡因子
*/
private int getBalanceFactor(Node node) {
if (node == null) {
return 0;
}
return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
}
}
檢查二分搜索樹性質和平衡性
有了判斷平衡狀態的依據後，咱們就能夠判斷AVL樹的平衡性了。除此以外，因爲AVL樹本質上是一棵平衡版的二分搜索樹，因此咱們還須要檢查AVL樹的二分搜索樹性質。由於，調整AVL樹的過程當中可能會破壞二分搜索樹的性質，此時就須要將其「矯正」過來。
判斷AVL樹的平衡性很簡單，就是看各個節點的平衡因子是否大於1便可。由於平衡因子本質上只是左右子樹高度的差值，而AVL樹的定義是這個差值不能大於1。檢查二分搜索樹的性質也不難，經過中序遍歷就能夠作到。由於一棵樹知足二分搜索樹的性質，那麼中序遍歷必然是有序的，若是獲得的結果是無序的就證實不知足二分搜索樹的性質。
具體的實現代碼以下：
/**
* 檢查當前的AVL樹是否知足二分搜索樹的性質
*/
public boolean isBST() {
ArrayList<K> keys = new ArrayList<>();
inOrder(root, keys);
for (int i = 1; i < keys.size(); i++) {
// 中序遍歷一棵二分搜索樹所獲得的key理應是有序的
// 若是是無序的，就證實不知足二分搜索樹的性質
if (keys.get(i - 1).compareTo(keys.get(i)) > 0) {
return false;
}
}
return true;
}
/**
* 中序遍歷以node爲根的二叉樹，並將每一個節點的key放到keys中
*/
private void inOrder(Node node, ArrayList<K> keys) {
if (node == null) {
return;
}
inOrder(node.left, keys);
keys.add(node.key);
inOrder(node.right, keys);
}
/**
* 檢查當前AVL樹的平衡性
*/
public boolean isBalanced() {
return isBalanced(root);
}
/**
* 判斷以Node爲根的二叉樹是不是一棵平衡二叉樹，遞歸實現
*/
private boolean isBalanced(Node node) {
if (node == null) {
return true;
}
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
// AVL對平衡的定義是：左右子樹高度相差不能大於1
if (Math.abs(balanceFactor) > 1) {
return false;
}
return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
}
旋轉操做的基本原理
通過前面的鋪墊，如今咱們已經完成了AVL樹維持平衡時所需的輔助功能。接下來，咱們看看AVL樹是怎麼維持平衡的。首先，咱們得知道AVL樹何時會發平生衡性被打破的狀況。
與其餘樹形結構同樣，當AVL樹添加或刪除節點時，其平衡性就有可能會被打破。以下圖所示：
那麼AVL樹是怎麼維持平衡的呢？以前在紅黑樹的文章中提到過，紅黑樹是經過變色、左旋及右旋轉這三種操做來維持平衡的。
由於AVL樹中的節點沒有顏色的概念，因此不存在變色的問題，只有左旋轉、右旋轉這兩種維持平衡的操做。而且AVL樹中的左旋轉和右旋轉，和以前紅黑樹中所介紹的是同樣的。
左旋轉：逆時針旋轉紅黑樹的兩個節點，使得父節點被本身的右子節點取代，而本身成爲本身的左子節點。以下圖：
- 在上圖中，身爲右子節點的Y取代了X的位置，而X變成了本身的左子節點，所以爲左旋轉
右旋轉：順時針旋轉紅黑樹的兩個節點，使得父節點被本身的左子節點取代，而本身成爲本身的右子節點。以下圖：
- 在上圖中，身爲左子節點的Y取代了X的位置，而X變成了本身的右子節點，所以爲右旋轉
那麼AVL樹何時須要進行左旋轉，何時須要進行右旋轉呢？這得看樹的傾斜狀況，由於不一樣的傾斜狀況，須要採起不一樣的旋轉方式。主要分爲四種狀況，對應着四種旋轉方式。這裏將其稱爲：
- 左左狀況（LL），單次右旋轉
- 右右狀況（RR），單次左旋轉
- 左右狀況（LR），先左旋轉，後右旋轉
- 右左狀況（RL），先右旋轉，後左旋轉
若是你有學習過如何還原魔方的話，就會發現AVL樹的平衡過程跟魔方的還原很是類似。魔方的還原是有固定公式的：根據色塊在一個面上的不一樣排列狀況，都有相應的旋轉步驟。只要跟着這個還原步驟，最終就能將魔方還原。
而AVL樹的平衡大體過程就是：遇到什麼樣的節點排布，咱們就對應怎麼去旋轉調整。只要按照這些固定的旋轉規則來操做，就能將一個非平衡的AVL樹調整成平衡的。這裏不一樣的節點排布就對應着上述所說的四種狀況，接下來咱們就看看這四種狀況及其解法。
一、左左狀況（LL），簡單來講就是總體左傾的狀況，傾斜發生在節點左子樹中的最左子節點。以下圖：
- 圖中的三角形表示各個節點的子樹
在這種狀況下，咱們須要從下往上找到發生傾斜的子樹的根節點，即該子樹中平衡因子大於 1 的那個節點。在此例中就是 y 節點，此時咱們以 y 節點爲軸，進行一次右旋轉，從而矯正這棵樹：
二、右右狀況（RR）是總體右傾的狀況，傾斜發生在節點右子樹中的最右子節點。以下圖：
在這種狀況下，一樣從下往上找到相應的根節點，而後以根節點 y 爲軸，進行一次左旋轉：
三、左右狀況（LR），傾斜發生在節點左子樹中的最右子節點。以下圖：
在這種狀況下，咱們就須要分兩步走了，先以 x 節點爲軸，進行左旋轉：
能夠看到此時就轉換成了左左狀況（LL），那麼就只須要按照左左狀況的方式，以 y 節點爲軸，進行右旋轉便可：
四、右左狀況（RL），傾斜發生在節點右子樹中的最左子節點。以下圖：
一樣，在這種狀況下，咱們也須要分兩步走，先以 x 節點爲軸，進行右旋轉：
轉換成了右右狀況（RR）後，按照這種狀況的方式，以 y 節點爲軸，進行左旋轉：
以上就是AVL樹須要調整平衡的四種狀況，以及四種對應的調整方式。如今讓咱們來看本小節最開始的那個例子，在該例子中，以節點4 爲根的左子樹出現了不平衡的狀況。如今來看，該子樹正好符合 「左左狀況」。因而，咱們以節點 4 爲軸，進行右旋操做，就讓AVL樹從新恢復了高度平衡：
左旋轉和右旋轉的實現
在上一小節中，咱們介紹了AVL樹爲了維持平衡所使用的旋轉操做，以及不一樣狀況所對應的不一樣旋轉方式。在本小節中，就讓咱們用代碼來實現AVL樹的左旋轉和右旋轉操做。代碼以下：
// 對節點y進行向右旋轉操做，返回旋轉後新的根節點x
// y x
// / \ / \
// x T4 向右旋轉 (y) z y
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// z T3 T1 T2 T3 T4
// / \
// T1 T2
private Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T3 = x.right;
// 向右旋轉過程
x.right = y;
y.left = T3;
// 更新height
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
// 對節點y進行向左旋轉操做，返回旋轉後新的根節點x
// y x
// / \ / \
// T1 x 向左旋轉 (y) y z
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// T2 z T1 T2 T3 T4
// / \
// T3 T4
private Node leftRotate(Node y) {
Node x = y.right;
Node T2 = x.left;
// 向左旋轉過程
x.left = y;
y.right = T2;
// 更新height
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
向AVL樹中添加元素
到目前爲止，咱們就已經瞭解了AVL樹中維持平衡所需的內容。在理論和代碼上咱們都學習到了如何維持一棵AVL樹的平衡性，也已經實現了相應的輔助功能。
那麼也就知道在添加和刪除元素時，如何解決可能破壞AVL樹平衡性的問題。因此，接下來咱們就實現向AVL樹中添加元素的功能。具體代碼以下：
/**
* 向AVL樹中添加新的元素(key, value)
*/
public void add(K key, V value) {
root = add(root, key, value);
}
/**
* 向以node爲根的AVL中插入元素(key, value)，遞歸實現
* 返回插入新節點後AVL的根
*/
private Node add(Node node, K key, V value) {
if (node == null) {
size++;
return new Node(key, value);
}
if (key.compareTo(node.key) < 0) {
node.left = add(node.left, key, value);
} else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
node.right = add(node.right, key, value);
} else {
node.value = value;
}
// 更新height
node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right));
// 計算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
// --- 維護平衡 start ---
// LL
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0) {
return rightRotate(node);
}
// RR
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0) {
return leftRotate(node);
}
// LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
// RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
// --- 維護平衡 end ---
return node;
}
從AVL樹中刪除元素
從AVL樹中刪除元素也會打破AVL樹的平衡性，那麼在刪除元素時如何維持AVL樹的平衡呢？若是在刪除元素時，打破了AVL樹的平衡，其維持平衡的調整方式與以前提到的同樣，仍是根據那四種狀況進行四種旋轉操做便可。
所以，有了前面的基礎，而且對二分搜索樹的刪除操做有必定的瞭解的話，那麼對AVL樹的刪除操做理解起來就比較容易了。無非就是在二分搜索樹的刪除操做的基礎上增長了維護平衡的操做，而這個操做與添加元素時是徹底同樣的。
咱們來看個例子：
如上圖所示，咱們在AVL樹中刪除了節點 1，致使父節點 2 的平衡因子變爲了 -2，打破了AVL樹的平衡。此時，以節點 2 爲根的子樹正好造成了「右左狀況（RL）」，因而咱們首先以節點 4 爲軸進行右旋轉：
而後再以節點 2 爲軸進行左旋轉：
通過如上步驟後，最終AVL樹從新恢復了高度平衡。
AVL樹刪除操做的具體實現代碼以下：
/**
* 返回以node爲根的AVL的最小值所在的節點
*/
private Node minimum(Node node) {
if (node.left == null) {
return node;
}
return minimum(node.left);
}
/**
* 從AVL中刪除鍵爲key的節點
*/
public V remove(K key) {
Node node = getNode(root, key);
if (node != null) {
root = remove(root, key);
return node.value;
}
return null;
}
/**
* 刪除以node爲根的AVL中鍵爲key的節點，遞歸實現
* 返回刪除節點後新的AVL的根
*/
private Node remove(Node node, K key) {
if (node == null) {
return null;
}
// 存放被刪除的節點
Node retNode;
if (key.compareTo(node.key) < 0) {
// 待刪除節點在左子樹中
node.left = remove(node.left, key);
retNode = node;
} else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
// 待刪除節點在右子樹中
node.right = remove(node.right, key);
retNode = node;
} else {
// 待刪除節點左子樹爲空的狀況
if (node.left == null) {
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
retNode = rightNode;
}
// 待刪除節點右子樹爲空的狀況
else if (node.right == null) {
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
// return leftNode;
retNode = leftNode;
}
// 待刪除節點左右子樹均不爲空的狀況
else {
// 找到比待刪除節點大的最小節點, 即待刪除節點右子樹的最小節點
// 用這個節點頂替待刪除節點的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = remove(node.right, successor.key);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
retNode = successor;
}
}
if (retNode == null) {
return null;
}
// 更新height
retNode.height = 1 + Math.max(getHeight(retNode.left), getHeight(retNode.right));
// 計算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);
// --- 維護平衡 start ---
// LL
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0) {
return rightRotate(retNode);
}
// RR
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0) {
return leftRotate(retNode);
}
// LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
retNode.left = leftRotate(retNode.left);
return rightRotate(retNode);
}
// RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
retNode.right = rightRotate(retNode.right);
return leftRotate(retNode);
}
// --- 維護平衡 end ---
return retNode;
}
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