數據結構之「圖」

圖

圖 是由頂點的有窮非空集合和頂點之間邊的集合組成。

圖 是一種較線性表和樹更加複雜的數據結構。在圖形結構中，結點之間的關係能夠是任意的，圖中任意兩個數據元素之間均可能相關。

線性表中咱們把數據元素叫元素，樹中將數據元素節點，在圖中數據元素，咱們則稱之爲頂點。

線性表中，相鄰的數據元素之間具備線性關係，樹結構中，相鄰兩層的節點具備層次關係，而圖中，任意兩個頂點之間均可能有關係，頂點之間的邏輯關係用邊來表示，邊集能夠是空的。

若頂點到頂點之間的邊沒有方向，則稱這條邊爲 無向邊。 若頂點到頂點之間的邊有方向，則稱這條邊爲 有向邊，也稱爲 弧。

若是圖中任意兩個頂點之間的邊都是有向邊，則稱該圖爲 有向圖。 若是圖中任意兩個頂點之間的邊都是無向邊，則稱該圖爲 無向圖。

在無向圖中，若是任意兩個頂點之間都存在邊，則稱該圖爲 無向徹底圖。 在有向圖中，若是任意兩個頂點之間都存在方向互爲相反的兩條弧，則稱該圖爲 有向徹底圖。

在圖中，若不存在頂點到其自身的邊，且同一條邊不重複出現，則稱這樣的圖爲 簡單圖。

有些圖的邊或弧具備與它相關的數字，這種與圖的邊或弧相關的數叫作 權。這些權能夠表示從一個頂點到另外一個頂點的距離或耗費。這種帶權的圖一般稱爲 網。

與該頂點相關聯的總邊數稱爲 度。在有向圖中，頂點的度還可分爲出度和入度。以該頂點爲起點的邊稱爲 出度，以該頂點爲終點的邊稱爲 入度。

從一個頂點到另外一個頂點之間的邊序列叫作 路徑，路徑上的邊或弧的數目稱爲 路徑的長度。

第一個頂點和最後一個頂點相同的路徑稱爲迴路或環。序列中頂點不重複出現的路徑稱爲簡單路徑。除了第一個頂點和最後一個頂點以外，其他頂點不重複出現的迴路，稱爲簡單迴路或簡單環。

無向圖中連通且 n 個頂點 n-1 條邊叫 生成樹。有向圖中一頂點入度爲 0 其他頂點入度爲 1 的叫 有向樹。一個有向圖由若干棵有向樹構成 生成森林。

圖的存儲

1.鄰接矩陣

用兩個數組來表示圖。一個一維數組存儲圖中頂點信息，一個二維數組存儲圖中的邊或弧的信息。

在無向圖中，頂點到頂點之間有邊，就把二維數組裏對應的值設爲 1，不然設爲 0。若是須要知道某個頂點的度，就是鄰接矩陣某行元素之和。實際上，無向圖的邊數組是一個對稱矩陣。

從矩陣的左上角到右下角的主對角線爲軸，右上角的元與左下角相對應的元全都是相等的稱爲 對稱矩陣。

在有向圖中，邊是有方向的，根據方向分 入度 和 出度。所以，一個頂點到另外一個頂點之間有邊時二維數組對應的值設爲 1，不然爲 0。出度爲某行之和，入度爲某列之和。

若是在圖中每條邊帶權時，稱爲 網。好比計算最短路徑時，須要用到這個權值，所以須要把對應的權值存儲下來。上面二維數組中用 1 和 0 來區分頂點之間是否有邊，咱們能夠把真實的權值存儲到對應的二維數組中去，這樣就解決來存儲權值的問題。

2.鄰接表

上面的鄰接矩陣看起來是一個存儲圖不錯的方案，可是，當邊樹比較少的圖中，會浪費大量的存儲空間。這個時候就能夠變二維數組爲 一維數組 + 鏈表 來存儲對應的圖了，稱爲鄰接表。

圖中頂點用一個一維數組存儲，每一個頂點的全部鄰接點在對應一維數組後構成一個線性表，在無向圖中稱爲頂點的邊表，在有向圖中稱爲頂點做爲弧尾的出邊表。

這樣用 一維數組 + 鏈表 來存儲圖的方式叫作鄰接表。

3.十字鏈表

上面的存儲看似很完美，但有向圖有方向，咱們是以頂點爲弧尾來存儲邊表的，這樣很容易就能夠獲得每一個頂點的出度。但也有時爲了便於肯定頂點的入度或以頂點爲弧頭的弧，咱們能夠創建一個有向圖的逆鄰接表，即對每一個頂點都創建一個連接頂點爲弧頭的表。

把鄰接表與逆鄰接表結合起來的一種存儲方法稱爲 十字鏈表。

新的頂點表節點結構，分別是 data、firstin、firstout。

data 表示頂點的信息。
firstin 表示入邊表頭指針，指向該頂點的入邊表中第一個節點。
firstout 表示出邊表頭指針，指向該頂點的出邊表中的第一個節點。

新的邊表節點結構，分別是 tailvex、headvex、headlink、taillink。

tailvex 是指弧起點在頂點表的下標。
headvex 是指弧終點在頂點表中的下標。
headlink 是指入邊表指針域，指向終點相同的下一條邊。
taillink 是指邊表指針域，指向起點相同的下一條邊。
若是是網，還能夠再增長一個 weight 域來存儲權值。

十字鏈表的好處就是容易求得頂點的出度和入度。

4.鄰接多重表

十字鏈表是對有向圖的優化，能夠很容易的求得頂點的出度和入度。
在無向圖中，鄰接表主要是關注的頂點，若是是要標記或者刪除一條邊的時候，鄰接表的操做就比較麻煩了，這時候就能夠參考有向圖的優化十字鏈表了。

新的頂點表節點結構，分別是 data、firstedge。

data 表示頂點的信息。
firstin 表示第一個邊表指針，指向該頂點的邊表中第一個節點。

新的邊表節點結構，分別是 ivex、ilink、jvex、jvex。

ivex 和 jvex 是與某條邊依附的兩個頂點在頂點表中的下標。
ilink 指向依附頂點 ivex 的下一條邊，jlink 指向依附頂點 jvex 的下一條邊。

這樣的結構稱爲 鄰接多重表。鄰接多重表與鄰接表的差異，僅僅是在於同一條邊在鄰接表中用兩個節點表示，而在鄰接多重表中只有一個節點。

圖的遍歷

從圖中某一頂點出發訪遍圖中其他頂點，且使每個頂點僅被訪問一次，這一過程就叫作圖的遍歷。

對於圖的遍從來說，如何避免因迴路陷入死循環，就須要科學地設計遍歷方案，一般有兩種遍歷次序方案：它們是 深度優先遍歷 和 廣度優先遍歷。

1.深度優先遍歷

深度優先遍歷（Depth First Search），也有稱爲深度優先搜索，簡稱爲 DFS。

沿着頂點，儘量深的遍歷的分支。當頂點的所在邊都己被探尋過，遍歷將回溯到發現頂點的那條邊的起始頂點。這一過程一直進行到已發現從源頂點可達的全部頂點爲止。若是還存在未被發現的頂點，則選擇其中一個做爲源頂點並重復以上過程，整個進程反覆進行直到全部頂點都被訪問爲止。

深度優先遍歷 就像是樹的前序遍歷。

2.廣度優先遍歷

廣度優先遍歷（Breadth First Search），又稱爲廣度優先搜索，簡稱BFS。

圖的廣度優先遍歷就相似於樹的層序遍歷，就是從最上面的頂點，一層一層向下遍歷，直到遍歷全部的頂點。

總結

圖 分爲 無向圖 和 有向圖，與該頂點相關聯的總邊數稱爲 度，有向圖中又分爲 出度 和 入度。

從一個頂點到另外一個頂點之間的邊序列叫作 路徑，路徑上的邊或弧的數目稱爲 路徑的長度。

存儲圖的結構主要有 鄰接矩陣、鄰接表、十字鏈表 和 鄰接多重表。

圖的遍歷分別爲 深度優先遍歷 和 廣度優先遍歷。

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