淺談帶權二分或者斜率凸優化

APOI講了這個東西，還有THU命題的《九省·林克卡特樹》，感受好像很熱點的樣子。

帶權二分是一類對DP的優化，對於某些最優化問題的(2d/yd)DP，經過這種優化，其效率能夠達到簡化後的(1d/yd)DP的效率乘一個log

（(xd/yd)DP是指狀態數爲n^x級且每種狀態的轉移數爲$n^y$級的DP，這個形式下的DP的最好效率是$n^{x+y}$的）

有這麼一個(2d/yd)DP：

——對於某狀態二元組(i,j),有最優值f[i][j]；

——每一個f[i][j]的得出，都須要比較$n^y$個其餘的狀態二元組，從中挑出一個可使f[i][j]更優的狀態做爲前驅來進行轉移；

——須要某一個f[n][m]的結果（由於n和m同級，因此能夠認爲狀態數爲$n^2$級）。

考慮優化這個(2d/yd)DP，也就是把它降爲一個其餘的(x'd/y'd)DP使得x'+y'<2+y

考慮使y減少——

因爲在此類DP中，每個狀態的得出，最終只須要從全部備選的前驅中挑一個來進行轉移，

因而在最理想的狀況(也就是通過各類神奇優化以後)，咱們能夠不通過比較一步找到每一個狀態的前驅

這樣就是一個(2d/0d)的DP了，效率$O(n^2)$，

對於決策過程的優化就到此爲止了，這一部分並非本文的重點，因此能夠看出，他被一筆帶過了。

如今咱們考慮優化狀態數，也就是把2d變成1d——

考慮有一個(2d/yd)DP，咱們要獲得的是狀態(n,m)的最值f[n][m]

若是這個DP沒有第二位限制的話是一個很是好搞的1dDP(狀態爲x時，其答案f'[x]爲原來f[x][i]中i枚舉全部值時的最優值，因爲DP狀態的精確性有所降低，因此通常狀況下f'的DP的確能夠是一個(1d/y'd)DP，並且y'<=y,也就是一個比以前更好搞的DP)

那咱們儘可能但願把第二位消掉，以優化狀態數

設有函數F知足F(i)=f[n][i]；

F在整點處的最值，也是對於全部i而言f[n][i]的最值；

那麼設這個值爲f'[n]，能夠發現f'[n]就是咱們上文中所說的消去第二位限制後出現的那個很好搞的DP

然而，這樣獲得的f'[n]=f[n][x]，卻並不能保證x=m。

考慮給F搭配另外一個函數G以獲得函數H，使得H(x)=F(x)+G(x)

且H(x)在x=m時取得整點處的最值；

這樣的話，設這個最值爲h'[n]，若是h'[n]也剛好是個很好搞的(1d/y''d)DP(這須要G十分恰當)，那麼h'[n]就能夠是咱們優化狀態數的產物。而最終的答案就是h'[n]-G(m)了

 

帶權二分（斜率凸優化）就是上述討論的一個簡單易行而應用普遍的特例。

好比有f[a][b]=max(枚舉c<b){f[a-1][c]+val[c+1,b]},

咱們試圖消去狀態表示中的第一位a，他表明轉移次數，

由以前的定義有$F_{max}$=f'[b]=max(枚舉i){f[i][b]}

能夠發現f'[x]是一個很好搞的DP——

f'[b]=max(枚舉c<b){f'[c]+val[c+1,b]}

若是F的曲線知足以下圖的凸性：

好比F(x)是下圖這樣的曲線

那麼只要H(x)是F(x)搭配不一樣斜率的正比例函數G(x)（即H(x)=F(x)+K*x，其中G(x)=K*x），隨着K的調動，就可使不一樣的x變成H(x)取到最值的地方

並且h'[x]也是一個很好搞的DP——

當G的斜率爲K時，h'[b]=max(枚舉c){h'[c]+val[c+1,b]+K}

(每轉移一次就至關於原來的f中被隱去的維度其數值+1，這意味着G的自變量+1,此時G對h'多貢獻了K)

因而剩下的問題就是如何找到一個合適的K，使得H的最優值h'[n]在m處取得了

由於只要K合適，那麼答案就是f[n][m]=h'[n]-m*K，而h'是一個很好搞的DP，因而此類題目就結了。

咱們發現因爲F函數曲線的凸性，當K逐漸減少時，H的最值取得的位置逐漸右移，

這意味着K能夠二分取得：

每次二分一個K’，DP計算當前的h'[n]，並計算當前h'[n]=H(x)的這個x是那一個x

若是這個x>m就blabla

若是這個x<m就blabla

這樣最後會獲得了一個合適的K，並同時也就獲得問題的答案了。

而對於F的曲線知足以下圖凸性的狀況：

 

咱們能夠用一樣的方法，搭配不一樣斜率的正比例函數G(x)使得H(x)的min值在不一樣的x處取得。

方法以前的相似。

總結：

對於f[n][m]

若是f[n][m]求解max值

且設F(x)=f[n][x]，有F(x)是隨x增長，斜率遞減的函數

那麼咱們能夠經過斜率凸優化解決這個問題

若是f[n][m]求解min值

且設F(x)=f[n][x]，有F(x)是隨x增長，斜率增的函數

那麼咱們能夠經過斜率凸優化解決這個問題

例子：

有以下DP方程——

$$f_{[i][j]}=MIN_{k∈[0,j-1]}f_{[i-1][k]}+(sum_{l=k+1}^{j}a[l])^2$$

$$且對於全部i>j，有f_{[i][j]}=INF$$

其中a[x]爲輸入數據

求解$f_{[m][n]}$

 

能夠看出$f_{[m][n]}$爲把n個數分紅m段，求每段和的平方的和。

設$F(x)=f{[x][n]}$能夠證實F(x)是一個隨x增長，斜率增的函數。

若是沒有m段的限制的話

有$f'_{[j]}=MIN_{k∈[0,j-1]}f_{[k]}+(sum_{l=k+1}^{j}a[l])^2$

經過預處理前綴和以及一些斜率優化技巧，這個方程能夠作到O(n)

若是咱們給每次劃分搭配一個費用K的話

就有$h'_{[j]}=MIN_{k∈[0,j-1]}h_{[k]}+(sum_{l=k+1}^{j}a[l])^2+K$

一樣能夠斜率優化作到O(n),

這樣，咱們二分K，斷定此時$h'_{[n]}$對應的劃分次數與m的關係，從而找的一個合適的K，進而找的問題的答案。

最終效率爲O(nlogV)