楊輝三角

楊輝三角

 

前言

　　關於楊輝三角，相信你們都很熟悉，忘記的同窗請自行Wiki。下面引用一張 Wiki 上的圖做爲知識回顧。

上面這張圖能夠簡要歸納出如下幾點：

1.每行數左右對稱，且都是以1開始和結束的正整數。

2.行數遞增的同時，列數也在遞增。

3.兩條斜邊上的1除外，其它的元素值均由其上部兩個數之和。

如何用編程的方式實現打印（下三角）

首先來看一下運行結果的截圖：

如上圖，這是一個如下三角（直角三角形）的形式打印出來的，觀察上面這張圖，很容易就會令人聯想到用一個矩陣來存儲全部的數值，打印的時候只打印下三角便可。

第1步：首先構建一個10x10的矩陣

第2步：觀察發現列下標爲0的元素都爲1，且行列下標值相等的元素也都爲1

第3步：其他元素都可由 array[i][j] = array[i-1][j] + array[i-1][j-1] 計算獲得

開始編寫代碼：【C語言實現】

void PrintTriangle()
{
    int arr[10][10]={0};
    int i,j;
    for(i=0;i<10;i++)
    {
        for(j=0;j<=i;j++)
        {
            if(j==0 || i==j)
                arr[i][j]=1;
            else
                arr[i][j]=arr[i-1][j]+arr[i-1][j-1];
            printf("%-4d", arr[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}

如今，咱們固定了數組的大小。若是咱們想擁有一個能夠經過輸入，選擇打印行數的的方法，怎麼辦呢？把方法改成 PrintTriangle(int n) { int arr[n][n]={0}; ... } 不幸的是，這段代碼在 C 中編譯沒法經過，由於 C 語言中數組定義要求的是一個常量表達式。

那麼，咱們換成 C# 來試試：

static void PrintTriangle(int n)
{
    int[,] arr = new int[n, n];
    int i, j;
    for (i = 0; i < arr.GetLength(0); i++)
    {
        for (j = 0; j <= i; j++)
        {
            if (j == 0 || i == j)
                arr[i, j] = 1;
            else
                arr[i, j] = arr[i - 1, j] + arr[i - 1, j - 1];
            Console.Write(arr[i, j].ToString().PadRight(3));
        }
        Console.WriteLine();
    }
}

使人欣慰的是 C# 沒有編譯錯誤，咱們徹底能夠在 C# 中使用變量定義數組。爲何 C# 支持而 C 不支持呢？這個已經超出本文的主旨了，有興趣的同窗能夠搜索相關資料。

如今，咱們來思考另外一個問題：咱們只使用了一半的數組空間，而另外一半卻白白浪費掉了，實在惋惜。有沒有一種方式，可讓咱們直接計算出相關元素的值，而無需用數組來作臨時存儲呢？爲了閱讀方便，我把上面的圖貼在此處，仔細觀察，是否能夠用數學計算來表示每一個元素的值。

如今以列做爲單位來觀察其中的規律，每次循環進來都會首先打印 1，那麼，咱們就能夠在每次內層循環進入的時候打印出 1，解決第1列。

第2列參考循環中 i,j 值得變化，剛好 i-j 是第2列的值。

第3列，繼續來驗證並總結這個規律，想啊想，想啊想。數學沒學好，是硬傷啊。。呵呵

 

你想到了嗎？^_^  【C】

void PrintTriangle(int n)
{
    int num, i, j;

    for(i=0; i < n; i++)
    {
        num = 1;
        for(j=0; j <= i; j++)
        {
            printf("%-3d ", num);
            num = num * (i-j)/(j+1);
        }
        printf("\n");
    }
}

是的，重點就是這個：num = num * (i-j)/(j+1) 。

最後，咱們來看另外一種實現方式：

1

=======

1 1

   1 1

-----------

1  2  1

=======

1  2  1

    1  2  1

-------------

1 3   3   1

以此類推，咱們只要在第2行開始，對 11 進行移位後相加運算就能夠了。

看一段 Python 的實現：

 def triangle(n):
     row = [1]
     k = [0]
     for x in range(n):
         print row
         row = [l+r for l,r in zip(row+k, k+row)]