一種插入、查找後繼節點耗時爲 lglgu 的算法van Emde Boas Trees

時間 2019-12-05

標籤一種插入查找後繼節點耗時 lglgu 算法 van emde boas trees 欄目應用數學简体版

原文原文鏈接

前提

假設總共有n個int元素，它的值在 {0,1,..,u-1}範圍內，能夠作到插入、刪除、後繼節點耗時爲 lglgu 。算法

經常使用的應用場景如，網絡路由表。對於IPV4來說，u的取值範圍是 $2^{32}$ 。數組

若是u不是特別大，好比 $u=n^{O(1)}$ ,那麼至關於總共的時間是 lglgnbash

lglgu 在什麼樣的場景下才會出現？

對於一個算法，若是它的迭代結構爲網絡

能夠獲得，它的耗時爲O(lgk)，那麼要獲得lglg的效果，至關於，迭代的結構爲函數

使得lgk=u，有優化

T(u)=T((lgk)^{1/2})+O(1)=T(\sqrt u)+O(1)

此時算法的運行時間爲 lglguui

如何使得u的存儲和刪除是常量時間？

使用數組存儲全部的元素，數組的index就是要存儲的n的值,數組u的值爲0，表示當前值沒有，1，表示有，這種結構爲Bit Vector，以下：spa

上示中，u=16,目前存儲的元素爲 {1,9,10,15}.net

此時，存儲和刪除的時間都是O(1),查找後繼節點的時間爲O(u)3d

在bit vector的基礎上，如何加快後繼節點的查找速度？

把u分紅 $\sqrt u$ 個cluster,而後在每一個cluster上去構建一個樹

每一個cluster的樹的構建規則是根據每一個值之間的或獲得的結果，那麼要查找對應的值是否存在，只須要看當前的cluster樹的頂點是否是1便可

給每一個cluster的樹取名爲summary

對於構建的樹，新插入的元素值在u中的座標可表示爲

i表示在那個cluster,j表示在cluster中的位置，取函數 high(x)=i,low(x)=j

整個結構稱做V,它包含以下信息

V.cluster[i]大小爲 $\sqrt u$ ,其中 $0\leq i \lt \sqrt u$
V.summary大小爲 $\sqrt u$ ，從V.summary[i]可以判斷 V.cluster[i]是否是空的

successor的獲取方法爲:

先看high(x)裏面，耗時爲 $O(\sqrt u)$
high(x)裏面沒有找到下一個非空的cluster i ，耗時爲 $O(\sqrt u)$
找到i的第一個存在的元素便可，耗時爲 $O(\sqrt u)$

在此結構下，總的時間消耗

插入

Insert(V,x):
    //先在u中插入元素
    Insert(V.cluster[high(x)],low(x))
    //更新summary
    Insert(V.summary,high(x))
複製代碼

它的耗時爲

可得，T(u)=O(lgu),沒有達到預期的效果

查找後繼

Successor(V,x):
    //計算出在那個cluster
    i=high(x)
    //查找當前的cluster是否是有這個元素
    j=Successor(V.cluster[i],low(x))
    if j not exist:
        //先找到i後面的非空的summary
        i=Successor(V.summary,i)
        //從找到的cluster中尋找後繼者，Integer.MIN_VALUE表示我不知道具體的位置是那個
        j=Successor(V.cluster[i],Integer.MIN_VALUE)
    return index(i,j)
複製代碼

它的耗時爲

即

總的耗時時間並很差，再次優化結構

在查找後繼節點的過程當中，若是當前的cluster不存在值，就找下一個cluster的元素j=Successor(V.cluster[i],Integer.MIN_VALUE),而根據後繼節點的性質，當保存了每一個cluster的最小元素的時候，此次查找就能夠幹掉。
其次，cluster查找的時候，若是可以立馬知道，是否可以在當前cluster找到元素，那麼就能決定，究竟是找當前的clusterj=Successor(V.cluster[i],low(x))仍是在下一個i=Successor(V.summary,i),當存儲了每一個cluster的max元素的下標的時候，若是low(x)<max顯然就在當前cluster,不然就是下一個，這樣只須要執行1次Successor

Successor(V,x):
    //最小的元素只存儲在V.min
    if x < V.min:
        return V.min
    i=high(x)
    if low(x) < V.cluster[i].max:
        j=Successor(V.cluster[i],low(x))
    else
        i=Successor(V.summary,high(x))
        j=V.cluster[i].min
    return index(i,j)
複製代碼

它的耗時爲

即T(u)=O(lglgu)

插入方式優化

Insert(V,x):
    //先考慮V沒有元素存在
    if V.min == None
        V.min=V.max=x
        return
    if x<V.min
        swap(x,V.min)
    if x>V.max
        V.max=x
    //若是當前cluster沒有元素
    if V.cluster[high(x)].min == None:
        Insert(V.summary,high(x))  //第一次調用Insert，custer以前沒有值，更新summary
    Insert(V.cluster[high(x)],low(x))  //第二次調用Insert,在u中插入元素
複製代碼