大數運算—大數加法、減法、乘法、除法詳解

原創公衆號：bigsai
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前言

你們好，我是bigsai！最近，大數加減頻頻登上筆試的舞臺，小夥伴們在羣裏也分享本身遇到面試官碰到大數運算的題目，想着這麼重要而簡單的知識點我還沒寫過，那得好好和你們一塊兒總結一下。

各位有過度類刷題的小夥伴，可能看到不少人分類 字符串、貪心、動態規劃、bfs、dfs、大數、數論等，初聽大數，你可能會差別：大數是個啥？聽起來怪高大上的。

大數，其實就是很大很大數字(可能遠超3二、64位，基礎類型沒法表示)的加減法，在Java中咱們可使用一個大數類(BigInteger等)很容易解決大數的各類運算，但若是遇到面試官他確定會讓你手寫的。

這個數字通常用字符串、鏈表等形式表示、返回，大數運算的核心就是：模擬，模擬咱們平常用紙筆算數字的加減乘除流程，而後再根據計算機、編程語言等特性適當存儲計算便可，不過，大數除法運算稍微特殊一點，和咱們直接模擬的思惟方式稍有不一樣。

大數加法

大數加法是最簡單的，簡單模擬便可。首先，咱們想一下兩個數加法的流程：從右向左計算求和、進位，一直到最後。

在編程語言中一樣也是模擬從右向左逐位相加的過程，不過在具體實現上須要注意一些細節。

一、枚舉字符串將其轉換程char[]提升效率

二、從右往左進行計算，能夠將結果放到一個數組中最後組成字符串，也可使用StringBuider拼接，拼接的時候最後要逆置一下順序。

三、餘數每次疊加過須要清零，兩數相加若是大於等於10即有餘數，添加到結果中該位置的數也應該是該數%10的結果。

四、計算完最後還要看看餘數是否爲1，若是爲1須要將其添加到結果，例如 "991"+"11"算三個位置爲002但還有一個餘數須要添加，因此應該是1002。

固然在具體實現上方法較多，你能夠首先就將字符串逆置而後從前日後就能夠計算了。固然我這裏實現的是字符串從後向前各個位對應計算，而後將結果順序添加到StringBuilder上。

這題在力扣【415兩數相加】能夠檢驗本身代碼，實現代碼爲：

public String addStrings(String num1, String num2) {
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    int len1=num1.length()-1,len2=num2.length()-1;
    char ch1[]=num1.toCharArray();
    char ch2[]=num2.toCharArray();

    StringBuilder sb=new StringBuilder();
    int remainder =0;//計算餘數
    while (len1>=0||len2>=0)
    {
        int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0;
        int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0;
        int num=n1+n2+remainder;//求和對應數字
        remainder=num/10;//是否進位
        sb.append(num%10);// 添加到結果字符串中
    }

    if(remainder>0)//是否還須要進位
    {
        sb.append(remainder);
    }
    //反裝即爲結果
    return sb.reverse().toString();
}

大數減法

加法對應的就是減法，有了上面大數加法的實現思路，那麼我想你在大數減法也應該有點想法，可是減法和加法不一樣的是減法有位置的區別，加法須要進位而減法須要借位。而且大整正數減法可能產生正負也不必定。

兩個正數，若是大數減去小數，那麼一切正常，結果是一個正數；但若是小數減去大數，那麼結果將是一個負數，而且結果處理起來比較麻煩。 因此在這裏所有轉成大-小處理(大-小不存在不能借位的狀況)。

一、執行計算前首先比較減數(num1)和被減數(num2)的大小，若是num1>num2,那麼就模擬num1-num2的過程，若是num1<num2，那麼結果就爲-(num2-num1) 。固然能夠爲了穩定模擬時候一個大一個小，可將num1始終指向較大的那個數，少寫一個if/else.

二、在比較兩個數字大小的時候，由於是字符形式，首先比較兩個字符串的長度，長的那個更大短的那個更小，若是兩個字符串等大，那麼就能夠經過字典序從前日後進行比較(Java可直接使用compareTo方法)。

三、和加法不一樣的是，減法前面可能產生若干前綴0，這些0是須要你去掉的，例如"1100"-"1000"計算獲得的結果位"0100",你就要吧前面的0去掉返回"100"。

四、具體實現的時候和加法類似，若是使用StringBuilder存儲，須要逆置順序，若是是個負數，前面還要加上'-'.

五、每一個位置正常進行減法運算，若是值小於0，那麼就須要向上借位(+10),那麼處理上一位進行減法時候還要將借位的處理一下。

這題在力扣上沒有原題，可是能夠在小米OJ【大數相減】上驗證本身代碼的正確性，具體實現的代碼爲：

public static boolean compare(String num1,String num2)
{
    if(num1.length()<num2.length())
        return  false;
    else if(num1.length()>num2.length())
        return true;
    else
        return num1.compareTo(num2)>0;
}
public static  String subtractString(String num1,String num2) {
    char sign='+';//正負號
    //讓num1>num2 若是num1<num2 那麼結果就是—(num2-num1) 
    //能夠先將num1和num2交換和前面狀況統一
    if(!compare(num1,num2))
    {
        sign='-';
        String team = num2;
        num2 = num1;
        num1 = team;
    }
    int len1=num1.length()-1;
    int len2=num2.length()-1;

    char ch1[] = num1.toCharArray();
    char ch2[] = num2.toCharArray();
    StringBuilder sb=new StringBuilder();
    int borrow=0;//借位
    while (len1>=0||len2>=0)
    {
        int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0;
        int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0;

        int num=n1-n2-borrow;
        borrow=0;
        if(num<0)//須要向前借位
        {
            borrow=1;
            num+=10;
        }
        sb.append(num);
    }

    sb=sb.reverse();//須要先翻轉
    int index = 0;//去掉前面沒用的’0‘
    while (index<sb.length()&&sb.charAt(index) == '0')
    {
        index++;
    }
    //若是兩個數相同 直接返回"0"
    if(index==sb.length())
        return "0";
    if(sign=='+')//若是正數 
        return  sb.substring(index);
    else  return sign+sb.substring(index);//負數須要返回
}

大數乘法

大數乘法乍一想可能比較複雜，由於乘法比起加法可能進位不光是1，還有兩個數各類位置都須要相乘計算，這時候就須要咱們化繁爲簡了。

多*多考慮起來可能有些麻煩，可是若是多*一考慮起來呢？若是是多位乘以一位數，那麼就拿一位的分別乘以多位數的個位、十位、百位，在計算的同時考慮一下進位的狀況。

可是也能夠先直接用int類型數組存儲各位的乘積而後從右向左進行進位，以下圖所示。

而多*多 也是這個道理，將不一樣位乘積先疊加到對應位置上，而後從右向左進位，一直到不須要進位爲止。

你可能會疑問，若是兩個數組的長度分別爲a和b這個數組到底該開多大呢？

• a+b大小就夠了，怎麼分析呢？其中一個a不變。另外一個b變成最小b+1數字即十的倍數，那麼這樣在相乘的時候也不過是a+b長度，因此這裏a+b長度就夠了。

這題有力扣對應題能夠去試試【43字符串相乘】，具體代碼位：

public String multiply(String num1, String num2) {
    if("0".equals(num1)||"0".equals(num2))return "0";
    char a[]=num1.toCharArray();
    char b[]=num2.toCharArray();
    
    int value[]=new int[a.length+b.length];
    
    for(int i=a.length-1;i>=0;i--)
    {
        for(int j=b.length-1;j>=0;j--)
        {
            int index=a.length-1-i+b.length-1-j;
            value[index]+=(a[i]-'0')*(b[j]-'0');
        }
    }
    for(int i=0;i<value.length-1;i++)
    {
        value[i+1]+=value[i]/10;
        value[i]=value[i]%10;
    }
    int index=value.length-1;
    while(value[index]==0)
    {index--;}
    StringBuilder sBuilder=new StringBuilder();
    while (index>=0) {
        sBuilder.append(value[index--]);
    }
    return sBuilder.toString();
}

大數除法

大數加減乘都搞定了，經過模擬來實現，可是大數除法也經過模擬來實現？

並非，對於大數a/b，通常最多要求求到其整數解或者餘數，即a/b=c……d（a,b,c,d均爲整）;也就是a裏面有c個b，而且還剩下d。核心是先求c是多少，對於程序來講，能夠經過枚舉啊，將除法變成減法，從a中不斷減d，一直到不能減爲止。

可是有個問題，若是被除數a很大很大，可能有居多個b，那麼這樣時間複雜度過高了，不可能執行那麼屢次，那麼須要怎麼樣去優化這個方法呢？

那就要加速尋找次數，減小這個減法的次數了，減法次數減少的一個最好方案就是能不能擴大除數b。若是b後面加個'0'，那麼算出來的結果就乘以10，減法的次數變成原來十分之一。根據這個思想咱們能夠一直每次找到b的最大10的倍數(小於a)計算減的次數再換算成減b的總詞數，將結果要以字符串方式保留，後面一直迭代到最後爲止,這雖然是一道除法運算的題，可是也蘊涵減法和加法(次數疊加到結果中)。

固然，也有一些人使用二分法來壓縮尋找能夠被減的次數也是能夠的(加法能夠迭代數字實現二分倍數)，具體實現的話也不是很困難，可是代碼量可能比較多因此通常的面試筆試不會讓你現場寫的，因此好好掌握前面的減法、減法、乘法的代碼便可。

固然，若是你依然很想看大數除法部分的代碼，能夠百度搜一下或者在文末評論催更一下，若是有感興趣的能夠後面把代碼補充上。

結語

到這裏，大數的加減乘除基本都講解完啦，不知道你有沒有收穫，由於這裏的大數都是用字符串的方式存儲和處理，遇到的最多，可是也可能遇到一些鏈表、數組等其餘形式存儲的須要處理，可是總體的思想都是同樣的。

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