樹狀數組

樹狀數組

樹狀數組(Binary Indexed Tree(BIT), Fenwick Tree)是一個查詢和改動複雜度都爲log(n)的數據結構。主要用於查詢隨意兩位之間的所有元素之和，但是每次僅僅能改動一個元素的值；通過簡單改動可以在log(n)的複雜度下進行範圍改動，但是這時僅僅能查詢當中一個元素的值。

基本概念：

若是數組a[1..n]，那麼查詢a[1]+...+a[n]的時間是log級別的，而且是一個在線的數據結構，支持隨時改動某個元素的值，複雜度也爲log級別。

來觀察這個圖：

樹狀數組的結構圖

令這棵樹的結點編號爲C1，C2...Cn。令每個結點的值爲這棵樹的值的總和，那麼easy發現：

C1 = A1

C2 = A1 + A2

C3 = A3

C4 = A1 + A2 + A3 + A4

C5 = A5

C6 = A5 + A6

C7 = A7

C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

...

C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

這裏有一個有趣的性質：

咱們來看一下這個規律，

C1(0001)末尾二進制0的個數是0，並且C1管轄的範圍是C1=A1；

C2(0010)末尾二進制0的個數是1，並且C2管轄的範圍是C2=A1+A2；

C3(0011)末尾二進制0的個數是0，並且C3管轄的範圍是C3=A3；

......

C8(1000)末尾二進制0的個數是3，並且C2管轄的範圍是C8=A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8；

設節點編號爲x，那麼這個節點管轄的區間爲2^k（當中k爲x二進制末尾0的個數）個元素。因爲這個區間最後一個元素一定爲Ax，

因此很是明顯：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An

基本操做：

1,對於C[i]=a[i - 2^k + 1]...a[i]的定義中，比較難以逐磨的k，他的值等於i這個數的二進制表示末尾0的個數.        如4的二進制表示0100,此時k就等於2，而實際上咱們還會發現2^k就是前一位的權值,即0100中,2^2=4，恰好        是前一位數1的權值.因此因此2^k可以表示爲n&(n^(n-1))或更簡單的n&(-n)，好比：

 爲了表示簡便，若是現在一個int型爲4位,最高位爲符號位

int i=3&(-3);     此時i=1，3的二進制爲0011,-3的二進制爲1101(負數存的是補碼）因此0011&1101=1

int j=4&(-4);    此時j=4，理由同上.....

因此計算2^k咱們可以用例如如下代碼：

int lowbit(int n)
{
	return n&(-n);
}

2,求和操做

在上面的示意圖中，若咱們需要求sum[1..7]個元素的和，僅需要計算c[7]+c[6]+c[4]的和就能夠，到底時間複雜度怎麼算呢？一共要進行多少次求和操做呢？

求sum[1..k],咱們需查找k的二進制表示中1的個數次就能獲得終於結果，因此時間複雜度爲log(n)。

int GetSum(int n)
{
	int sum=0;
	while(n>0)
	{
		sum+=TreeArray[n];
		n-=lowbit(n);
	}
	return sum;
}

n-=lowbit(n);這一項實際上等價於將當前二進制串中的最後一個1減去，因爲數的二進制串中1的個數最多有log(n)個，因此它的時間複雜度爲log(n);

以求sum[1..7]爲例,二進制爲0111,右邊第一個1出現在第0位上,也就是說要從a[7]開始向前數1個元素(僅僅有a[7]),即c[7];

而後將這個1舍掉,獲得6,二進制表示爲0110,右邊第一個1出現在第1位上,也就是說要從a[6]開始向前數2個元素(a[6],a[5]),即c[6];

而後舍掉用過的1,獲得4,二進制表示爲0100,右邊第一個1出現在第2位上,也就是說要從a[4]開始向前數4個元素(a[4],a[3],a[2],a[1]),即c[4].

因此s[7]=c[7]+c[6]+c[4];

3,更新操做

在上面的示意圖中，若是更改的元素是a[2],那麼它影響到得c數組中的元素有c[2],c[4],c[8]，咱們僅僅需一層一層往上改動就可以了,這個過程的最壞的複雜度也只是O(logN);

void update(int n,int num)
{
	while(n<=MAX)
	{
		TreeArray[n]+=num;
		n+=lowbit(n);
	}
}

n+=lowbit(n);這一項實際上等價於在二進制串中補0；

以改動a[2]元素爲例，需要改動c[2],2的二進制爲0010,末尾補0爲0100,即c[4]

4的二進制爲0100，在末尾補0爲1000即c[8]。因此咱們需要改動的有c[2],c[4],c[8]