Y Combinator學習總結

最近看完The little schemer，第一次看到這種編排的書，一問一答的形式，不知不覺就翻完了整本。很天然的教會你們寫遞歸，怎樣寫程序，一點點的CPS，還有Y combinator。 我的以爲第九章推導Y combinator過程是我看到的最清晰，簡單的一個了，只要花點耐心，就能學會。

scheme版本Y組合子

(define Y
  (lambda (le) 
    ((lambda (f) (f f)) 
      (lambda (f) 
        (le (lambda (x) ((f f) x)))))))

直接翻譯爲erlang代碼

Y = fun(M) -> 
  (fun(F) -> F(F) end)(
    fun(F) ->
      M(fun(X) -> (F(F))(X) end) 
    end
  ) 
end.

這樣看起來不怎麼清晰，抽取函數體，定義爲變量，再帶入fun(F) -> F(F) end即得到

Y = fun(M) -> 
  G = fun (F) -> M(fun(X) -> (F(F))(X) end) end,
  G(G)
end.

Y組合子是用於lambda演算中實現遞歸邏輯的，便是能夠實現匿名函數的遞歸調用。原理就是fixed-point combinator，不動點組合子。高階函數f的不動點是另外一個函數 g，使得f(g) = g。那麼不動點算子是任何函數fix使得對於任何函數f都有f(fix(f)) = fix(f)。這樣就能夠實現匿名函數把本身算出來，從而間接調用回本身，實現遞歸了。

Fac = fun (F) ->
  fun (0) -> 1;
    (N) -> N * F(N-1)
  end
end.

(Y(Fac))(5). % 120

BTW, Erlang R17之後支持Named Function [1]和[2]，如今遞歸能夠寫成

Fun = fun Fact(N) when N > 0 ->
      N * Fact(N - 1);
    Fact(0) ->
      1
end.

Fun(5). % 120

參考：

• The Little Schemer 第九章(仔細研讀推導過程)
• TLS的學習筆記
• [Erlang 0056] 用fun在Erlang Shell中編寫尾遞歸 Ⅱ
• scheme下的停機問題和Y組合子