# 清北冬令營真題泛作

清北冬令營真題泛作

前言

這段時間爲了準備冬令營把清北冬令營真題都作了一下。更個博回顧一下(省得大家老說我咕咕咕)。
先寫良心PKU的題再寫THU的題，
主要是THU的題和PKU比起來真的毒瘤好多......

PKUWC2018

[PKUWC2018]Minimax

一個比較顯然的暴力是歸併排序，每次直接先後綴計算答案便可。
爲啥不用線段樹合併代替歸併排序呢？
暴力線段樹合併，合併的過程當中順便算一下便可，因爲權值區間不交因此複雜度一個\(log\)。

[PKUWC2018]Slay the Spire

順着題意模擬便可。
強化牌的數值都大於\(1\)意味着多打一張攻擊牌不如的多打一張強化牌。
枚舉抽中了幾張強化牌，當強化牌數量小於\(K\)時，必定是用全部強化牌加上最大的幾張攻擊牌，
當強化牌數量大於等於\(K\)時，爲前\(K-1\)大的強化牌加上最大的攻擊牌。
把攻擊牌與強化牌按照價值從大往小排序，先算總和最後除方案算機率，隨便dp一下就好了。

[PKUWC2018]鬥地主

九老師：這是我能想到的最好的模擬題了！然而現場無一人得分......我選擇死亡。

[PKUWC2018]隨機算法

這個題仍是有點意思。
\(n\leq 20\)確定是狀壓DP，很天然想到直接狀壓已經被\(Ban\)掉的點有哪些。
怎麼轉移？
把視野放大，考慮全局合法排列的生成，枚舉加入最大獨立集的點是哪一個，
而後把這個點放到第一個空缺的位置，再把與之相鄰點放到後面的任意位置(選對應個空位)。
顯然轉移過程當中咱們保證了獨立集的點之間順序，因此計數是不重不漏的。
至於要同時求最大值與方案數，兩個一塊兒DP，維護一下便可。

[PKUWC2018]獵人殺

很明顯的終止態容斥問題了，枚舉誰在\(1\)號獵人後面死，那麼剩下的獵人就不用管了。
還有一個問題就是打到了死的獵人怎麼辦，
這裏比較妙，咱們能夠認爲打到了死的看成鞭屍，再打一次直到打到一個活着的獵人。
根據賭徒輸光那套理論，新舊問題顯然等價。
列出式子，無窮級數化簡後發現容斥係數只與\(w\)之和有關，用分治\(FFT\)就能夠計算。

[PKUWC2018]隨機遊走

使用\(min-max\)容斥轉爲求任意一個點被到達的指望步數。
這是經典問題，狀壓DP後樹上高斯消元解決。

PKUSC2018

[PKUSC2018]真實排名

來搞笑的吧？討論一下兩個組合數一加就沒了。(放普及組T2挺合適的)

[PKUSC2018]最大前綴和

一個比較天然的想法：把最大前綴和拆分紅兩段，前面是最大前綴，後面的每個前綴都小於\(0\)。
這樣算答案只須要枚舉前綴是什麼，
後面的部分很好求，設\(g\)如上述，狀壓DP每次向後插入一個元素時\(check\)一下就能轉移。
關於前面部分：設\(f_T\)表示包含\(T\)集合元素，且最大極長前綴和等於全集和的方案數。
智障選手：容斥減去不合法的，發現不合法部分爲\(f\)和\(g\)的卷積，暴力子集卷積。(顯然過不了)。
高智商選手：把向後插入改成向前插入，那麼只要保證插入前這個後綴非正，能夠很方便的轉移。
講真這題真的有驚豔到我。

[PKUSC2018]主鬥地

很差意思，這題咕了。

[PKUSC2018]星際穿越

首先能夠注意到最多隻會向後跳一次，由於跳兩次再跳回去絕對沒有意義。
其次，因爲上述性質，從後面的點跳到前面的點後，前面的點再日後跳也絕對沒有意義。
由於若是它後跳後再往前跳一大步，那麼它日後跳到的那個點必定能夠經過它的來源點直接到達。
而後就能夠倍增了，設\(f_{i,j}\)表示\([i,n]\)中的點向左跳\(2^j\)可達的最左位置(向右跳無論)。
爲了算答案同時記\(g_{i,j}\)表示從\(i\)點出發，跳到\([f_{i,j},i)\)這些位置所須要的步數和。
首先\(f\)的轉移顯然，\(g\)的轉移：\(g_{i,j} = g_{i,j-1} + g_{f_{i,j-1},j-1} + 2^{j-1}(f_{i,j-1} - f_{i,j})\)。
算答案時，把答案轉爲後綴相減形式，倍增處理，
爲了減小特判，先把起點\(i\)移到\(l_i\)，最後再全局加上一步(第一步不管左跳仍是右跳代價都爲1)。

[PKUSC2018]神仙的遊戲

長爲\(i\)的\(Border\)存在的條件：不存在\(d\)，知足\((n-i)|d\)，且\(s_j \neq s_{j+d}\)。
問題變爲判斷\(s_j \neq s_{j+d}\)的存在性，字符集很小，枚舉字符用\(FFT\)作匹配便可。

[PKUSC2018]PKUSC

預處理圓被多邊形包含的最小半徑。
若不包含，求交點後極角排序，對於一段弧，用轉角公式求中點，而後判中點是否在多邊形內。
因爲數據範圍很小，因此上述過程所有直接暴力就好了。卡精度警告。

THUSC2016

[THUSC2016]補退選

建一個Trie樹，因爲字符串很短因此每一個點開個vector暴力存每一個時間的最先出現便可。
查答案時作匹配到對應結點，而後直接查vector就好了。

[THUSC 2016]成績單

設\(g_{l,r,x,y}\)表示區間\([l,r]\)最後一次消除的最大、最小值分別爲\(x,y\)的最優方案。
設\(f_{l,r}\)表示把區間\([l,r]\)消完的最優方案。
那麼顯然\(f_{l,r} = min(f_{l,r} + g_{t+1,r,x,y} + A + B(x-y)^2)\)，即枚舉最後一段在哪裏。
關於\(g_{l,r,x,y}\)，咱們關鍵在於記錄了最後一次消除的信息(從而實現了跨多段消除)。
連續轉移：\(g_{l,r,x,y} \to g_{l,r+1,max(x,w_{r+1}),min(y,w_{r+1})}\)。
跨段轉移：\(g_{l,r,x,y} + f_{r + 1 , t} \to g_{l,t,x,y}\)。複雜度\(O(n^5)\)鬆一鬆就過去了。

[THUSC2016]星露穀物語

不是很會啊......會的大佬教教我唄......

THUWC2017

[THUWC2017]在美妙的數學王國中暢遊

把三個函數黴黴展開，而後發現其導數都是循環的。
由於有斷邊刪邊操做，因此用\(LCT\)暴力維護一下路徑係數和就好了。

[THUWC2017]隨機二分圖

關於只有\(t=0\)的數據，其答案總和就是一個二分圖計數，暴力狀壓這樣就有\(40\)分了。
關於\(t=1,t=2\)，只能說陳老師真的神了......
考慮暴力，設\(f_{S,T}\)表示左半邊匹配上集合爲\(S\)，右半邊匹配上集合爲\(T\)的指望條數。
注意到\(S\),\(T\)的\(bit.count\)時刻相同，暴力搜一下能夠發現合法狀態其實並很少，因此用\(map\)記搜。
在記搜的每一層，首先找到最小的未匹配點\(u\)，而後進行決策。
對於\(t=0\)的邊\((u,v)\)，顯然直接加入：\(f_{S,T} = f_{S,T} + \frac{1}{2}f_{S+u,T+v}\) 。
對於\(t=1\)、\(t=2\)的邊，考率把它拆分紅兩條\(t=0\)的邊，而後跟上面同樣的作。
但這樣答案確定不對，考慮一下答案的偏轉量，咱們手動修正一下。
對於\(t=1\)的邊，
若只有一條邊在匹配中，機率爲\(50\%\)，正確。若都不在匹配中，無影響無論。
若兩條邊同時出如今匹配中，此時機率爲\(25\%\)不對，因此須要額外添加\(25\%\)的機率進行修正。
對於\(t=2\)的邊，
若只有一條邊在匹配中，機率爲\(50\%\)，正確。若都不在匹配中，無影響無論。
若兩條邊同時出如今匹配中，此時機率爲\(25\%\)非法，因此須要額外減小\(25\%\)的機率進行修正。

[THUWC2017]大蔥的神力

關於點\(1\)，爆搜便可。
關於點\(2\)，拿點\(1\)的爆搜程序跑上個十幾分鍾就能跑出來。
關於點\(3\)，裸揹包直接作。
關於點\(4,5\)，每一個抽屜的容積同樣，因此就是二分圖最大權匹配，\(KM\)便可。
關於點\(6\)，抽屜的容積差別幾乎沒有，因此依舊跑二分圖最大權匹配就能得解。
關於點\(7\)，發現只有第一根蘿蔔比較詭異，暴力枚舉一下它放哪裏，剩下的依舊\(KM\)解決。
關於點\(8,9,10\)，退火隨機化，至於能有多少分看臉。

THUSC2017

[THUSC2017]巧克力

看到\(K\)那麼小顯然枚舉一下巧克力集合，
而後若是無論第二問那麼問題變爲了關鍵點生成樹，用斯坦那樹搞搞這樣就有\(56\)分了。
關於第二問其實也是一個現套路。
二分中位數，把小於等於\(mid\)的點設爲\(-1\)，大於\(mid\)的點設爲\(1\)。
那麼咱們但願在點數最少的前提下，上述權值也最小，故只須要把點數的權值設的很大就好了。
最後一個問題在於巧克力種類不少的時候怎麼辦。
把巧克力種類隨機映射到\([1,K]\)而後多作幾回上述算法，聽說能夠證實這樣正確率高達\(99\%\)。

[THUSCH2017]杜老師

問題轉化每給定一個集合，求知足異或後每一位爲\(0\)的子集個數。
一種\(50\)分：按照大於\(\sqrt{MaxR}\)的質因子分組，把其餘質因子暴力狀壓\(DP\)。
另外一種\(50\)分：子集異或爲\(0\)顯然可使用線性基高斯消元，最後\(2\)的自由元個數次冪即答案。
結合一下就有\(80\)分：
線性基中不保存大於\(\sqrt{MaxR}\)的質因子的基，分組後外部消一下這一位而後再插入到線性基中。
再結合一個結論：當區間大於\(6000\)時，答案即區間內出現的質因子個數。
而後就可以\(AC\)辣！是否是很棒？

[THUSCH2017]換桌

顯然是個二分圖最大權匹配問題，裸跑\(KM\)白送\(70\)分不謝。
考慮優化建圖。
顯然每張桌子的位置之間能夠順次連邊，這樣每一個點就只用向可達桌子的對應位置連邊了。
然而這仍是隻有\(70\)分。
如今的問題主要在於桌子與桌子之間的連邊，考慮線段樹優化。
對於\(m\)個位置分別開兩棵線段樹，分別表示向左走和向右走，每次移向子樹時加上對應距離便可。

[THUSC2017]大魔法師

若是把三個元素當作向量的話(後面再加一個區間長度)，
那麼不難發現每種修改對應乘上一個矩陣，而矩陣又有乘法結合率，因此用線段樹維護。

[THUSC2017]若是奇蹟有顏色

看到環先套一個\(Polya\)，問題轉化爲求大小爲\(n\)的合法環的方案數(不考慮同構)。
考慮暴力怎麼作，咱們的難點在於要保證首尾合法。
能夠這樣：暴力壓\(m^{m-1}\)種狀態(最靠前的一個點能夠不計)，而後把轉移矩陣當作臨接矩陣。
這樣咱們只須要保證轉移若干次後回到本身便可。
當\(m>5\)時，矩陣過大顯然會\(TLE\)。
咱們本地暴力\(DP\)(方法跟上面同樣，只是暴力轉移不要構矩陣)把每個\(m\)的前\(1000\)項跑出來。
把這些數據扔到\(BM\)裏去，發現居然存在遞推式！(當\(m=7\)時，遞推式長度達到最大爲\(410\))。
而後暴力\(Polya\)，內部算方案直接用遞推式，矩乘依舊沒法經過此題因此須要使用\(CH\)線性遞推。

[THUSC2017]宇宙廣播

\(K=2\)求兩個圓的公切線便可，注意由於不保證相離，且半徑可能爲\(0\)因此須要特判一堆東西。
根據題目定義，超平面點集到兩個點\(S(s_1,s_2...s_K)\)、\(T(t_1,t_2...t_K)\)的距離相等。
不可貴到：\(\sum_{i=1}^K (s_i^2-t_i^2) = \sum_{i=1}^{K}2(s_i - t_i)x_i\)。
因爲\(S\)、\(T\)不定因此形式化的能夠寫成：\(\sum_{i=1}^K a_i x_i = d\) 。
由點到超平面的距離公式：\(dis = \frac{|\sum_{i=1}^K a_ix_i - d|}{\sqrt{\sum_{i=1}^K a_i^2}}\)，不妨設\(\sum_{i=1}^K a_i^2 = 1\) 。
那麼對於每一個圓\(p\)，有方程：\(|\sum_{i=1}^K a_i x_{p,i} - d| = r_p\)。
咱們暴力枚舉每一個圓的絕對值狀況，而後把\(a_i\)寫成\(k_1d + k_2\)形式，帶入\(\sum_{i=1}^K a_i^2 = 1\)就能得解。
這樣咱們就能夠求得所需的超平面了。
而已知(百度來的)超平面的法向量就是定義中的\((a_1,a_2...a_K)\)，因此天然就能夠求切點了。