<譯> 範疇：複合的本質

原文見 http://bartoszmilewski.com/20...

上一篇文章，即《寫向程序猿的範疇論》的序言，發佈以後獲得的正面反饋讓我有些不知所措。同時，它也激勵了我，由於我感覺到了你們付諸於個人殷切指望。不過，我擔憂的是不管我如何努力，依然衆口難調。有些讀者但願這本書偏於現實，有些人則但願它能抽象一些。有些憎恨 C++ 的人但願全部的示例都是 Haskell 的，而那些憎恨 Haskell 的人又但願示例是 Java 的。我還知道內容的進展對於有些人可能太慢了，而對於有些人可能又太快了。這本書可能不會很完美，它會充滿着妥協。不過，我只指望可以與你們分享一下我頓悟時的驚喜。咱們如今從最基本的東西開始。

範疇是一個至關至關至關簡單的概念。一些對象以及對象之間存在的一些箭頭就構成了一個範疇。因此，範疇很容易用圖形來表示。對象能夠畫成圓或點，箭頭就畫成箭頭。爲了好玩，有時我會把對象畫成小豬，將箭頭畫成焰火。範疇的本質是複合，若是你願意，也能夠說複合的本質是範疇。箭頭能夠複合，所以若是你有一個從 A 指向 B 的箭頭，又有一個從 B 指向 C 的箭頭，那麼就一定有一個複合箭頭——從 A 指向 C 的箭頭。

在範疇論中，若是有一個箭頭從 A 指向 B，又有一個箭頭從 B 指向 C，那麼就一定存在一個從 A 指向 C 的箭頭，它是前兩個箭頭的複合。這幅圖並不是一個完整的範疇，由於它沒有自態射（詳見後文）。

當箭頭做爲函數的時候

如今你已經凌亂了麼？不要絕望。如今來點實在的，將箭頭想象爲函數，雖然它的學名叫態射。你有一個函數 f，它接受一個 A 類型的值，返回一個 B 類型的值。你還有一個函數 g，它接受一個 B 類型的值，返回一個 C 類型的值。你能夠將 f 的返回值傳遞給 g，這樣就完成了這兩個函數的複合，你獲得的是一個新的函數，它接受一個 A 類型的值，返回一個 C 類型的值。

在數學中，這樣的複合能夠用一個小圓點鏈接兩個函數來表示，即 g∘f. 注意，複合是從右向左發生的。有些人可能仍是有點不理解。你可能熟悉 Unix 中的管道，例如

$ lsof | grep Chrome

也可能熟悉 F# 語言中的 >>，它們都是從左向右傳遞信息的。可是在數學與 Haskell 中，函數的複合是從右向左傳遞信息。若是你將 g∘f 讀做 g after f 可能會有助於理解。

如今咱們來寫一些 C 代碼。咱們有一個函數 f，它接受 A 類型的參數值，返回一個 B 類型的值：

B f(A a);

還有一個

C g(B b);

那麼這兩個函數的複合，就是：

C g_after_f(A a)
{
    return g(f(a));
}

此次，你能夠看到 C 中的從右向左的的複合：g(f(a))。

我但願 C++ 標準庫中存在一個模板，它可以接受兩個函數而後返回它們的複合，可是惋惜並無這樣的模板。因此咱們只能試試 Haskell 了。下面是一個從 A 到 B 的函數的聲明：

f :: A -> B

相似的還有

g :: B -> C

它們複合爲：

g . f

一旦你見識到 Haskell 是這麼的簡單，就會以爲 C++ 在函數概念的直接表達方面顯得有些無能了。Haskell 也支持使用 Unicode 字符來寫函數的複合：

g ∘ f

也可使用 Unicode 字符來寫冒號與箭頭：

f ∷ A → B

這就是咱們的 Haskell 第一課：兩個冒號的意思是『類型爲……』。一個函數的類型是由兩個類型中間插入一個箭頭而構成的。要對兩個函數進行復合，只需在兩者之間插入一個 .（或者 Unicode 小圓圈）。

複合的性質

在任何範疇中，複合必須知足兩個很是重要的性質：

1. 複合是可結合的（結合律）。若是你有三個態射，f，g 與 h，它們可以被複合（也就是它們的對象可以首尾相連），那麼你就不必在複合表達式中使用括號。在數學中，可表示爲：

h∘(g∘f) = (h∘g)∘f = h∘g∘f

在 Haskell 僞代碼（之因此說『僞』，是由於 Haskell 沒有爲函數的相等進行定義）中，可表示爲：

f :: A -> B
g :: B -> C
h :: C -> D
h . (g . f) == (h . g) . f == h . g . f

對於函數的處理，結合律至關清晰，可是在其餘範疇中可能就不這麼清晰了。

2. 任一對象 A，都有一個箭頭，它是複合的最小單位。這個箭頭從對象出發又指向對象自身。做爲複合的最小單位，意思是當它分別與任何從 A 開始或終止於 A 的箭頭複合時，獲得的依然是與後者相同的箭頭。對象 A 的單位箭頭稱爲 id_A，意思是 identity on A，即 A 與自身恆等。在數學表示中，若是 f 從 A 到 B，那麼就有

f∘id_A = f

以及

id_B∘f = f

在處理函數時，恆等箭頭就是做爲一個恆等函數實現的，這個函數的惟一工做就是直接返回它所接受的參數值。對於全部的類型，均可以這麼實現恆等，這意味着這個函數是多態的。在 C++ 中，咱們能夠以模板的形式來定義它：

template<class T> T id(T x) { return x; }

固然，在 C++ 中，實際狀況並不是如此簡單，由於你須要考慮要給這個函數傳遞什麼以及如何傳遞（經過值，仍是經過引用，仍是經過常量引用，仍是經過 move 語義等等）。

在 Haskell 中，恆等函數是標準庫（即 Prelude）中的一部分，其定義以下：

id :: a -> a
id x = x

正如你所見，在 Haskell 中多態函數是小菜一碟，在其聲明中，你只須要用一個具體的類型來替換掉類型變量便可。這就涉及到一個小把戲：具體的類型，名字老是以一個大寫字母開頭，而類型變量的名字老是以一個小寫字母開頭。在此，a 表示全部類型。

Haskell 函數的定義由尾隨着形參的函數名構成，這裏只有一個形參 x。函數體在 = 號以後。這種簡潔扼要的風格常常令新手愕然，但你很快就會發現它的魅力所在。函數的定義與調用是函數式編程的麪包與黃油，所以它們的語法被簡化到了骨瘦如柴的境地。參數值列表不只不須要括號，參數值之間也沒有逗號（下文在定義多個參數的函數時，就能夠看到這些）。

函數體老是由一個表達式構成，亦即函數中沒有語句。一個函數的返回結果就是這個表達式自己——在此就是 x。

這就是咱們的 Haskell 第二課。

恆等條件可寫爲（仍是僞 Haskell 代碼）：

f . id == f
id . f == f

可能你會問：爲什麼須要這個什麼也不作的恆等函數？其實你應該這樣問，爲何須要數字 0？

0 是一個表示無的符號。古羅馬人有一個沒有 0 的數字系統，他們可以修建出色的道路與水渠，有些直到今天還能用。

相似 0 這樣的東西，在處理符號變量的時候特別有用。這就是羅馬人不擅長代數學的緣由，而阿拉伯人與波斯人由於熟悉 0 的概念，所以他們可以很好的掌握代數學。當恆等函數做爲高階函數的參數值或返回值時，它的價值就會得以體現。高階函數可以像處理符號那樣處理函數，它們是函數的代數。

總結一下：一個範疇由對象與箭頭（態射）構成。箭頭能夠複合，這種複合知足結合律。每一個對象都有一個恆等箭頭，它是箭頭複合的基本單位。

複合是編程的本質

函數式程序員在洞察問題方面會遵循一個奇特的路線。他們首先會問一些似有禪機的問題。例如，在設計一個交互式程序時，他們會問：什麼是交互？在實現基於元胞自動機的生命遊戲時，他們可能又去沉思生命的意義。秉持這種精神，我將要問：什麼是編程？在最基本的層面，編程就是告訴計算機去作什麼，例如『從內存地址 x 處獲取內容，而後將它與寄存器 EAX 中的內容相加』。可是即便咱們使用匯編語言去編程，咱們向計算機提供的指令也是某種有意義的表達式。假設咱們正在解一個難題（若是它不難，就不必用計算機了），那麼咱們是如何求解問題的？咱們把大問題分解爲更小的問題。若是更小的問題仍是仍是很大，咱們再繼續進行分解，以此類推。最後，咱們寫出求解這些小問題的代碼，而後就出現了編程的本質：我麼將這些代碼片斷複合起來，從而產生大問題的解。若是咱們不能將代碼片斷整合起來並還原回去，那麼問題的分解就毫無心義。

層次化分解與從新複合的過程，並不是是受計算機的限制而產生，它反映的是人類思惟的侷限性。咱們的大腦一次只能處理不多的概念。生物學中被廣爲引用的一篇論文指出咱們咱們的大腦中只能保存 7± 2 個信息塊。咱們對人類短時間記憶的認識可能會有變化，可是能夠確定的是它是有限的。底線就是咱們不能處理一大堆亂糟糟的對象或像蘭州拉麪似的代碼。咱們須要結構化並不是是由於結構化的程序看上去有多麼美好，而是咱們的大腦沒法有效的處理非結構化的東西。咱們常常說一些代碼片斷是優雅的或美觀的，實際上那隻意味着它們更容易被人類有限的思惟所處理。優雅的代碼創造出尺度合理的代碼塊，它正好與咱們的『心智消化系統』可以吸取的數量相符。

那麼，對於程序的複合而言，正確的代碼塊是怎樣的？它們的表面積必需要比它們的體積增加的更爲緩慢。我喜歡這個比喻，由於幾何對象的表面積是以尺寸的平方的速度增加的，而體積是以尺寸的立方的速度增加的，所以表面積的增加速度小於體積。代碼塊的表面積是是咱們複合代碼塊時所須要的信息。代碼塊的體積是咱們爲了實現它們所須要的信息。一旦代碼塊的實現過程結束，咱們就能夠忘掉它的實現細節，只關心它與其餘代碼塊的相互影響。在面向對象編程中，類或接口的聲明就是表面。在函數式編程中，函數的聲明就是表面。我把事情簡化了一些，可是要點就是這些。

在積極阻礙咱們探視對象的內部方面，範疇論具備非凡的意義。範疇論中的一個對象，像一個星雲。對於它，你所知的只是它與其餘對象之間的關係，亦即它與其餘對象相鏈接的箭頭。這就是 Internet 搜索引擎對網站進行排名時所用的策略，它只分析輸入與輸出的連接（除非它受欺騙）。在面向對象編程中，一個理想的對象應該是隻暴露它的抽象接口（純表面，無體積），其方法則扮演箭頭的角色。若是爲了理解一個對象如何與其餘對象進行復合，當你發現不得不深刻挖掘對象的實現之時，此時你所用的編程範式的本來優點就蕩然無存了。

挑戰

1. 用你最喜歡的語言（若是你最喜歡的是 Haskell，那麼用你第二喜歡的語言）盡力實現一個恆等函數。

2. 用你最喜歡的語言實現函數的複合，它接受兩個函數做爲參數值，返回一個它們的複合函數。

3. 寫一個程序，測試你寫的能夠複合函數的函數是否能支持恆等函數。

4. 互聯網是範疇嗎？連接是態射嗎？

5. 臉書是一個以人爲對象，以朋友關係爲態射的範疇嗎？

6. 一個有向圖，在什麼狀況下是一個範疇？

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