二分查找你肯定真的會？生活中還能用來設計騙局？

期末考要來了，最近小秋正在從零開始複習算法相關知識....

一道簡單的算法題

帥地：據說你最近正在臨時飽佛教複習各類算法？

小秋：對啊，算法太難了，把我頭都搞大了，不過，感受本身複習的好像還不錯。

帥地：那我找一道簡單的題考考你？

小秋：好啊，好啊，正好能夠試試水。

帥地：給你一個有序數組，例如

而後我給出一個元素 target，你返回它對應數組的下標，若是數組中不存在這個元素的話，則返回 -1。例如

一、我給出 target = 18，則你須要返回 5。

二、我給出 target = 1，你須要返回 0。

三、我給出 target = 10，因爲數組中不存在 10 這個元素，因此你須要返回 -1。

小秋：這也太簡單了吧，我從左到右遍歷數組全部元素，就能夠找出來了。

帥地：這是一種方法，不過你這種方法的時間複雜度爲 O(n)，有沒有時間複雜度上更小的方法呢？

小秋：那我能夠採用哈希表來存儲，把數組元素做爲 key，對應的下標做爲 value，這樣的話，之後須要查找某個元素了，我就能夠在時間複雜度爲 O(1) 找到對應的元素下標了。

帥地：你這種方法，須要用哈希表來存放元素，雖然時間複雜度爲 O(1)，可是空間複雜度爲 O(n) 了，你能不能在時間複雜度和空間複雜度折中一下，找出更加優美的方法呢？

小秋：好像，，目前沒啥思路。

神速的二分查找

帥地：你據說過二分查找嗎？

小秋：二分查找？什麼鬼？

帥地：這道題就能夠用二分查找來解決了，我來給你講講吧。

小秋：好啊，好啊。

帥地：其實呢，對於這道題，因爲數組是有序的，咱們每次在查找的時候，能夠直接從中間元素開始比較，例如咱們要查找 target = 10，這個元素，咱們把 target 與數組中間的那個元素 15，進行比較。

（1）若是 target 比 15 小，那麼 15 以及 15 右邊的全部元素必定比 target 大，因此 target 只能存在於 15 的左邊元素中。

（2）若是 target 比 15 大，那麼 15 以及 15 左邊的全部元素必定比 target 小，因此 target 只能存在於 15 的右邊元素中。

（3）若是 target 與 15 相等，則直接把 15 對應的下標返回便可。

在這個例子中，target = 10 比 15 小，因此 target 只可能存在於 15 的左邊元素中

接下來咱們只須要在左半部分查找這個元素就能夠了，右半部分的元素能夠不用管了，你看，經過這種方式，只須要一次比較，咱們就能夠把查找的範圍縮小了一半。

接着咱們繼續把 target 與中間元素比較，這時候中間元素是 5，15比 5 大，因此 target 只可能存在於 5 右邊的元素中

接下來咱們繼續查找，這時中間元素是 10，和 target 相等，因此直接把 10 的下標 index = 2 返回。

二分查找的本質

帥地：小秋啊，這種每次都從中間元素開始比較，而且一次比較後就能把查找範圍縮小一半的方法，就叫作二分查找了，這種二分查找的時間複雜度是 O(logn)，空間複雜度是 O(1)，能夠說很是快的了。

小秋：那什麼狀況下可使用二分查找這種方法呢？

帥地：要使用二分查找，給的數據須要具有兩個基本的特性

（1）給的數據是有序的。

（2）給的數據支持隨機訪問。

小秋：什麼是隨機訪問呢？

帥地：例如像數組就支持隨機訪問了，例如你要訪問第 5 個元素，那麼你就能夠用下標爲 4，即 arr[4] 來快速訪問第五個元素了。而鏈表就不支持隨機訪問了，例如你要訪問鏈表的第 5 個元素，你沒法像數組那樣，直接用下標來定位，只能從鏈表頭部一個一個遍歷到第五個。

小秋：哦，我知道了，只有支持隨機訪問，咱們才能根據數組最左邊和最右邊的下標，直接定位到數組的中間元素。

帥地：是的，那你能夠根據剛纔那道題寫一下代碼嗎？

小秋：沒問題。

public static int binarySearch(int target, int[] arr) {
        // 數組最左邊元素下標
        int left = 0;
        // 數組最右邊元素下標
        int right = arr.length - 1;
        while (left <= right) {
            // 中間元素下標
            int mid = (right + left) / 2;
            if (arr[mid] > target) {
                right = mid - 1;
            } else if (arr[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            } else {
                return arr[mid];
            }
        }
        return -1;
    }
複製代碼

90% 的人都會犯的錯誤

帥地：你寫的基本正確，不過有個小問題，就是算中間元素下標那裏

mid = (left + right) / 2;
複製代碼

你這種方法有時候會產生溢出的哦。例如，咱們知道 int 整數的最大值大概是 2^31 - 1 大概爲 21 億。而 left 和 right 這兩個數相加是有可能超過 21 億的，例如 left = 12億，right = 13 億。這個時候，兩個數的和超過了最大值，就會產生溢出了。

小秋：那該怎麼寫？

帥地：正確的寫法應該是這樣的

mid = left + (right - left) / 2;
複製代碼

這樣，就能保存不會出現溢出的狀況了。

二分查找在生活中的騙局

帥地：其實在咱們的生活中，二分查找也是有挺多應用的，例如用二分查找來作壞事。

小秋：壞事？能夠給我舉例看看嗎？

帥地：有時候臨近一些比賽了，例如全世界性的足球大賽，有時候咱們會收到一些郵件，有人謊稱他會神預算，例現在天是德國和法國比賽，他會跟你說必定是德國勝，而後跟另一部分人今天必定是法國勝。

而德國和法國，總有一我的會勝，那麼他能夠跟 10000人說德國勝，10000人說法國勝。咱們假如是德國勝了，那麼在 10000 人看來它的預算是正確的。

接着德國和俄羅斯比賽，它會在那 10000 人中，跟 5000人說德國勝，5000人說俄羅斯勝。那麼在 5000 看來它的預算仍是正確的....

就這樣，每次它都從被他預算正確的那一部分人繼續吹他會神預算，那麼在有些人看來，他果然連續預算正確，這個時候，這些人可能就會認爲，他真的有神預算的能力，因而，可能就會相信它說的話了，進而就會被他所欺騙。

小秋：雖然我沒收到這類郵件，可是我常常收到一些賭博相關的短信

帥地：是的，這些，就是利用的二分查找的思想了。

二分查找？沒有你想的那麼簡單

帥地：小秋啊，剛纔給你講的那道題，能夠說是最簡單的了，其實，對於二分查找，有不少變形題的，每每不會那麼簡單。

小秋：那你能夠給我出幾道，看我能不能現學現賣。

帥地：那我給你兩道題吧。

一、實現 pow(x, n)函數：即計算 x 的 n 次方。不許使用我以前給你講的位運算：【算法技巧】位運算裝逼指南。

二、搜索選擇排序數組：假設按照升序排序的數組在預先未知的某個點上進行了旋轉。( 例如，數組 [0,1,2,4,5,6,7] 可能變爲 [4,5,6,7,0,1,2] )。

搜索一個給定的目標值，若是數組中存在這個目標值，則返回它的索引，不然返回 -1 。你能夠假設數組中不存在重複的元素。你的算法時間複雜度必須是 O(log n) 級別。

示例 1:

輸入: nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0
輸出: 4
示例 2:

輸入: nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3
輸出: -1

複製代碼

這兩道題，能夠說是中等難度的變形題了，跟我說說怎麼作？

小秋：這....，我纔剛學完，能不能給我點時間讓讓想一想？

帥地：大概多長呢？

小秋：不長，兩天時間就能夠了。

帥地：兩天 還不長...... 好吧，那兩天後見。

總結

此次主要講解了二分查找的基本思想以及生活在的例子，二分查找思想雖然不難，不過卻有不少不容易的題，後面的問題，若是小秋沒作出來，我就下次給你們講解。若是小秋作出來的，咱們就來聽聽他怎麼作的，敬請期待。

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