13 October

樹鏈剖分

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1036

https://oi.men.ci/tree-chain-split-notes/、

點分治

https://oi.men.ci/tree-divide-notes/

https://www.luogu.org/blog/chengni5673/dian-fen-zhi

對於一棵樹，統計長度爲 x 的路徑的路徑數.

點分治: 找到一個點爲根，統計答案，而後將它的子樹分離，分別進行一樣的操做，繼續，直到只剩下一個點. 其中選擇的根是有要求的，爲了保證時間複雜度，咱們須要儘可能的讓子樹的大小相近，因此每一次咱們選擇的根都最好是當前這棵樹的重心.

圖論常見技巧

• 反向建邊
• 虛點連邊

Graph 1. 求各點到指定點集的最短距離的優化方法

(a)

(b)

Graph 2. 二分徹底圖建邊的優化方法

• 建邊的線段樹優化

Graph 3. 建邊的線段樹優化

• 拆點
• 分層圖解決刁鑽圖上操做

分層圖就是有多維狀態的有邊長圖，比起正常的最短路轉移多了一種跨維度轉移的狀態轉移. 通常都是捨去某邊長度，最多舍多少次 (次數較少).

[JLOI2011] 飛行路線: Alice 和 Bob 如今要乘飛機旅行，他們選擇了一家相對便宜的航空公司。該航空公司一共在 n 個城市設有業務，設這些城市分別標記爲 0 到 n-1，一共有 m 種航線，每種航線鏈接兩個城市，而且航線有必定的價格。Alice 和 Bob 如今要從一個城市沿着航線到達另外一個城市，途中能夠進行起色。航空公司對他們此次旅行也推出優惠，他們能夠免費在最多 k 種航線上搭乘飛機。那麼 Alice 和 Bob 此次出行最少花費多少？

分層圖能夠很巧妙的解決這個問題. 想象你每次使用免費航線以前和以後分別存在於不一樣的時空 (不一樣的層) 裏面，每使用一次免費航線，你就從這個時空進入了另外一個時空 (免費). 根據以上思想建圖，一共建 k+1 層圖，相鄰的兩層圖中進行連邊 (單向邊，距離爲 1). 而後跑 Dijkstra 便可.

— gaotianyu1350

圖論的注意點

• 無向圖/有向圖
• 自環、重邊
• 環（縮點）
• 負環、零環