淺談分支限界算法

1. 定義：

       分支限界算法是按照廣度優先的方式對解空間樹（狀態空間樹）進行搜索，從而求得最優解的算法。在搜索的過程當中，採用 限界函數（bound function）估算全部子節點的目標函數的可能取值，從而選擇使目標函數取極值（極大值或者極小值）的節點做爲擴展結點（若是限界值沒有超過目前的最優解，則剪枝）進行下一步搜索（重複  BFS -> 計算全部子節點限界 -> 選擇最優子節點做爲擴展結點的過程），從而不斷調整搜索的方向，儘快找到問題的最優解。

（ ps：回溯算法求出知足約束的全部可行解，分支限界求出知足約束的解中使得目標函數達到極值的最優解）

      分支限界的思想相似於：圖的廣度優先搜索，樹的層序遍歷。

 

 

2. 分支限界算法和回溯算法的不一樣點：

  （1）分支限界算法與回溯算法在 子結點的擴展方式上不一樣：

        回溯通常採用輪流遍歷子節點的方式擴展結點。

        分支限界則採用活結點的方式，一次性對全部的可行子節點進行擴展，估算子節點目標函數的可能值，若是該子節點的目標函數值差於當前最優解，則丟棄；不然將其加入活葉子表，依次從表中選取使目標函數取極值的節點做爲當前的擴展結點。重複這一過程，直到找到最優解。

  （2）分支限界算法與回溯算法在 解空間樹的搜索方式上不一樣：

        回溯採用 深度優先搜索的方式去搜索解空間樹。搜索過程當中，對全部的子節點輪流進行深度優先搜索，一旦發現有不知足約束的子節點，則對該子節點爲根的子樹進行剪枝；不然就從該子節點深度優先搜索，直到搜索到一個知足約束條件的葉子節點，即求得一個可行解。

        分支限界採用 廣度優先搜索的方式去搜索解空間樹。搜索過程當中，先生成全部的子節點（分支），而後對全部分支計算一個函數值（限界），並根據這些函數值（計算出的上界或者下界），從中選擇一個使目標函數最優（限界最優）的子節點做爲擴展結點，使得搜索朝着最優解的方向快速推動，從而很快求得一個最優解。（ ps：個人理解是每次從全部子節點中找出一個最有潛力的，做爲擴展結點進行下一次的BFS）

 

 

3. 分支限界算法的通常步驟：

      （1）將問題的解空間轉化爲圖或者樹的結構表示，維護一張活葉子表（能夠是優先隊列）。

      （2）初始將根節點計算一個限界後加入活葉子表。

      （3）當活葉子表不爲空時， 從活葉子表中取出一個限界最優的結點做爲擴展結點，並將該節點去除出表。當活結點表爲空時，算法結束。

      （4）判斷當前的擴展結點是否能夠知足全部約束，而且獲得一個可行解（該擴展結點是葉子節點）。

             若是是，判斷優於當前最優解後，記錄並更新最優解，隨後將當前最優解與全部活葉子節點的限界作比較， 對於限界差於最優解的活葉子結點，去除出活葉子表，並返回（3）。

             若是不是，則進入（5）。

      （5）計算擴展結點的全部子節點是否知足約束條件，對於不知足約束條件的子節點，將以該節點爲根的子樹剪枝（丟棄）。

      （6）根據限界函數，計算該節點知足約束的全部子節點的限界。 對於限界差於當前最優解的子節點（ps：廢了，沒潛力），將以該子節點爲根的子樹丟棄； 對於限界優於當前最優解的子節點（ ps：還有潛力）， 將這些潛力節點做爲活葉子結點添加到活葉子表，並返回（3）

             （ ps：對於上述步驟的推導，參考了《算法分析與設計基礎》12.2 分支限界法 ）

 

 

4. 分支限界算法應用的難點：

      （1）解空間的構造，即狀態空間樹的構造方法（節點的生成順序）

      （2）剪枝函數的肯定，即約束規則的肯定

      （3）限界函數的肯定，邊界的評估方法

 

至於程序示例，最近有點忙，抽空寫。