圖網絡基本屬性 - 知乎

如何描述一個網絡

Degree Distribution

P(k): 隨機選擇的節點，度爲k的的機率分佈，使用直方圖來描述node

其中表示度爲k的節點數，好比上圖中，度爲1的節點數有6，全部節點數爲10，因此網絡

Path Length

Path: path是指每一個節點鏈接下一個節點的序列，其中，一個path可以重複屢次相同的邊，以下圖： ACBDCDEG app

Distance: 鏈接節點對最少數量的邊，稱爲兩個節點間的distance，以下圖，其中 $h_{B,D}=2, h_{A,X}=\infty$ ，若圖中兩節點無鏈接，或中間鏈接斷開，則distance爲無窮，在有向圖中，distance的計算應該考慮兩個節點間的方向，以下圖 $h_{B,C}=1, h{C,B}=2$ ，不是對稱的： dom

Diameter在graph中，全部節點對當中最長distance； Average path length針對graph來講， average path length計算公式以下： spa

$h_{average}=\frac{\sum_{i,j!=i h_{ij}}}{2E_{max}}$

其中 $h_{ij}$ 是node i到node j的distance, $E_{max}$ 是指圖最多可存在的邊數： $\frac{n(n-1)}{2}$ 3d

Cluster coefficient

cluster coefficient 對於無向圖，用來描述節點i與他的鄰居的連接狀況，其中節點i的度爲 $k_{i}$ ，clustering coefficient計算公式以下： component

$C_{i}=\frac{2e_{i}}{k_{i}(k_{i}-1)}$

以下圖，圖的node i的cluster coefficient計算以下： $C_{i}=\frac{26}{4(4-1)}=1, C_{i}=\frac{(23)}{4(4-1)}=0.5, C_{i}=\frac{20}{4(4-1)}=0$ 遞歸

Average clustering coefficient: $C=\frac{1}/{N}\sum_{i}^{N}C_{i}$ ci

$K_{A}=1, e_{A}=0, C_{A}=0$

$k_{B}=2, e_{B}=1, C_{B}=1$

$k_{C}=4, e_{C}=2, C_{C}=1/3$

$k_{D}=4, e_{D}=2, C_{D}=1/3$

$k_{E}=3, e_{E}=0, C_{E}=0$

$k_{F}=1, e_{F}=0, C_{F}=0$

$k_{G}=1, e_{G}=0, C_{G}=0$

$k_{H}=2, e_{H}=1, C_{H}=1$

avg. clustering: C= (1+1/3+1/3+1)/8=1/3同步

Connected components

Connectivity 圖當中最大的可鏈接的component：可以經過path連接的任意兩個幾點的最大的集合；如何找到圖當中的connect components，從圖中隨機節點開始，按廣度優先策略遍歷，標記遍歷過的節點，若是，全部的節點均被遍歷，那麼這個未connected component，不然從未遍歷的節點中隨機開始，重複廣度優先策略遍歷；

描述實際中的圖：MSN Messenger

msn一個月的相關的數據，以下：

Degree Distribution

x座標log以後：

可見大部分的節點degress在個位數。

Clustering

將全部的節點的k與c繪製在以下圖中，整個graph的avg culstering coefficient約爲0.1140

Connected Components

Diameter

msn的graph中平均path length爲6.6， 90% 的節點可以觸及在8個連接後觸及到另外一節點；

圖的核心屬性如何使用？

這些graph的屬性是意外的仍是在咱們自己預料之中？

PPI Network

Random Graph Model

Simplest Model of Graph

ER Random Graphs 兩個變種：

1. $G_{np}$ ： n個節點的無向圖，其中每一條邊是機率爲p的獨立同分布；

2. $G_{mn}$ : n個節點的無向圖，其中m個邊均勻隨機生成；

須要說明的是，n, p 沒法惟一地的決定graph，以下圖，相同的n,p下，咱們有不一樣的圖：

Degree Distribution of $G_{np}$

假定表示度爲k在全部節點中的佔比，則

$\alpha$ $P_{(k)}= C_{n-1}^{k} p^{k}(1-p)^{n-1-k}$

很明顯的binomial distribution, 因此均值、方差爲：

$\sigma^2 = p(1-p)(n-1)$

標準差率爲： $\frac{\sigma}{k_mean} \approx \frac{1}{(n-1)^{0.5}}$ ，當圖無限大的時候，則標準差爲0，全部的節點都爲 $k_{mean}$ 。

Clustering Coefficient of $G_{np}$

已知 $C_{i}=\frac{2e_{i}}{k_{i}(k_{i}-1)}, G_{np}$ 邊爲機率爲p的獨立同步分，其中 $E[e_{i}] = p\frac{k_{i}(k_{i}-1)}{2}$ , 故 $E[C_i] = \frac{pk_i(k_i - 1)}{k_i(k_i -1)} = p = \frac{k_{avg}}{n-1} \approx \frac{k_{avg}}{n}$

Expansion

定義 $\alpha$ : 若是一個graph的任意的子集S,子集中邊的條數大於alpha乘以子集或者graph去除子集以後的節點數量， Expansion一般用來衡量圖的魯棒性：

$\alpha = \mathop{\min}_{S \subseteqq}{\frac{\# edges\ leaving\ S} {min(|s|, |V \ S|)}}$

這張ppt沒理解清楚，

在 $G_{np}$ 中，n*p爲常數，因此avg deg k也爲常數：

Connected Components

$G_{np}，n = 100000, k=p(n-1)=0.5...3$ ，Largest CC中節點佔圖中全部節點的比例

Random Graph Model vs. MSN

在Random Graph Model 和實際的MNS的4個核心屬性對比：

真實網絡和Random Graph相似嗎？

Giant Connected component: yes
Average path length: yes
Clustering Coefficient: No
Degree Distribution: No

The Small-World Model--能同時保證high clustering且短path的圖嗎？

回顧下前面MSN network，clustering coef爲0.11，而 $G_{np}$ 的clustering coef爲 $8*10^{-8}$ 。另一個例子， IMDB數據集、Electrical power grid, Network of nerons中：

其中h：average shortest path length， C: avg clustering coefficient， random，是保證相同avg degree，相同節點下的圖的狀況。

下圖左邊：高clustering coefficient：朋友的朋友是個人朋友；

Small-World同時保證high cluster and low diameter；以下圖，從high clustering/high diameter, 到low clustering/low diameter，增長隨機性（p變大）: 即隨機的將一條邊的另外一個端點鏈接到任意較遠的節點上，這樣能夠保持high clustering，low diameter；

下圖中的p區域保證保證high clustering 和low path length：

Kronecker Graph Model: Generating large realistic graphs

遞歸的graph的生成: Self-similarity

Kronecker Produce是一種生成self-similar矩陣的方法：

Kronecker Product 定義以下：

舉個例子：

構建一個的初始機率矩陣；
計算k階Kronecker 矩陣；
遍歷k階矩陣，按 $p_{uv}$ 構建edge(u, v)連接

如上圖最後，須要模擬次，耗時過高，是否有更高效方法(利用其遞歸結構)？

真實網絡與Kronecker網絡很類似，右上角爲其初始矩陣：