（轉）二分圖最大匹配的König定理及其證實

出處:http://www.matrix67.com/blog/archives/116

二分圖最大匹配的König定理及其證實

    若是你看不清楚第二個字母，下面有一個大號字體版本：

二分圖最大匹配的König定理及其證實

    本文將是這一系列裏最短的一篇，由於我只打算把König定理證了，其它的廢話一律沒有。
    如下五個問題我可能會在之後的文章裏說，若是你如今很想知道的話，網上去找找答案：
    1. 什麼是二分圖；
    2. 什麼是二分圖的匹配；
    3. 什麼是匈牙利算法；(http://www.matrix67.com/blog/article.asp?id=41)
    4. König定理證到了有什麼用；
    5. 爲何o上面有兩個點。

    König定理是一個二分圖中很重要的定理，它的意思是，一個二分圖中的最大匹配數等於這個圖中的最小點覆蓋數。若是你還不知道什麼是最小點覆蓋，我也在這裏說一下：假如選了一個點就至關於覆蓋了以它爲端點的全部邊，你須要選擇最少的點來覆蓋全部的邊。好比，下面這個圖中的最大匹配和最小點覆蓋已分別用藍色和紅色標註。它們都等於3。這個定理相信大多數人都知道，可是網絡上給出的證實並很少見。有一些網上常見的「證實」明顯是錯誤的。所以，我在這裏寫一下這個定理的證實，但願對你們有所幫助。



    假如咱們已經經過匈牙利算法求出了最大匹配（假設它等於M），下面給出的方法能夠告訴咱們，選哪M個點能夠覆蓋全部的邊。
    匈牙利算法須要咱們從右邊的某個沒有匹配的點，走出一條使得「一條沒被匹配、一條已經匹配過，再下一條又沒匹配這樣交替地出現」的路（交錯軌，增廣路）。可是，如今咱們已經找到了最大匹配，已經不存在這樣的路了。換句話說，咱們能尋找到不少可能的增廣路，但最後都以找不到「終點是尚未匹配過的點」而失敗。咱們給全部這樣的點打上記號：從右邊的全部沒有匹配過的點出發，按照增廣路的「交替出現」的要求能夠走到的全部點（最後走出的路徑是不少條不完整的增廣路）。那麼這些點組成了最小覆蓋點集：右邊全部沒有打上記號的點，加上左邊已經有記號的點。看圖，右圖中展現了兩條這樣的路徑，標記了一共6個點（用 「√」表示）。那麼，用紅色圈起來的三個點就是咱們的最小覆蓋點集。
    首先，爲何這樣獲得的點集點的個數剛好有M個呢？答案很簡單，由於每一個點都是某個匹配邊的其中一個端點。若是右邊的哪一個點是沒有匹配過的，那麼它早就當成起點被標記了；若是左邊的哪一個點是沒有匹配過的，那就走不到它那裏去（不然就找到了一條完整的增廣路）。而一個匹配邊又不可能左端點是標記了的，同時右端點是沒標記的（否則的話右邊的點就能夠通過這條邊到達了）。所以，最後咱們圈起來的點與匹配邊一一對應。
    其次，爲何這樣獲得的點集能夠覆蓋全部的邊呢？答案一樣簡單。不可能存在某一條邊，它的左端點是沒有標記的，而右端點是有標記的。緣由以下：若是這條邊不屬於咱們的匹配邊，那麼左端點就能夠經過這條邊到達（從而獲得標記）；若是這條邊屬於咱們的匹配邊，那麼右端點不多是一條路徑的起點，因而它的標記只能是從這條邊的左端點過來的（想一想匹配的定義），左端點就應該有標記。
    最後，爲何這是最小的點覆蓋集呢？這固然是最小的，不可能有比M還小的點覆蓋集了，由於要覆蓋這M條匹配邊至少就須要M個點（再次回到匹配的定義）。
    證完了。
  
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