AVL樹

平衡二叉樹，是一個方便查找的樹，樹的左子樹深度與右子樹的深度的差總（BF）是在+1,0,-1之中。

隨着樹的創建，插入，樹都會自動的進行調整，使得其知足上面的條件。

一、+1表示左子樹的深度比右子樹的深度多1.

二、0 表示左子樹的深度與右子樹的深度相同。

三、-1表示左子樹的深度比右子樹神的小1.

所以，若是一個數據插入到狀況1中，也就是說，數據插入到左子樹中，左子樹的深度將會比右子樹多2.此時，須要調整樹的結構。若是插入尾端節點的左子樹中，則這個尾端節點相應的BF值,就變成+1.相反，若是插入到它的右子樹中，BF值就會變成-1.這個調整也會返回到上面一層的節點，再次進行調整。

 

這裏相應的介紹一個左旋，與右旋的基本知識。

好比下圖

在進行左旋時，將會發生下面的狀況：

void L_Rotate(BiTree *p){ //傳入根節點進行右旋
 BiTree R; R = (*p)->rchild; (*p)->rchild = R->lchild; R->lchild = (*p); (*p) = R; }

最後子樹將會變成

 

相應的右旋，則運行下面的代碼

void R_Rotate(BiTree *p){ //傳入一個根節點，進行右旋。定義它的左子樹節點爲L,根節點的左子樹變成L的右子樹，L的右子樹變成根節點。最後把根節點指針指向L
 BiTree L; L = (*p)->lchild; (*p)->lchild =  L->rchild; L->rchild = (*p); (*p) = L; }

 

瞭解左旋與右旋後，就該進行樹的調整介紹了。

這裏有一個技巧：

1 若是插入的元素插入到左子樹，使得左子樹的BF值發生改變。若是左子樹節點的BF值，與根節點的BF值相同符號，則進行一次右旋，便可。可是若是是不一樣符號，則要進行雙旋（即先進性左旋，使得子樹高度加一，在進行右旋，平衡子樹）

2 若是插入到右子樹，也觀察符號，相同，則進行一次右旋，若是不一樣，則進行雙旋。

代碼以下

void LeftBalance(BiTree *T){ BiTree L,Lr; L = (*T)->lchild; switch(L->bf){ case LH://符號與根相同，所以進行右旋一次，就好了
        (*T)->bf = L->bf = EH; R_Rotate(T); break; case RH://符號與根不一樣，要進行雙旋；對子樹進行一次旋轉，再對T進行一次旋轉
        Lr = L->rchild; switch(Lr->bf){ case LH: //若是是左子數高，那麼對根節點賦值爲-1，由於沒有右子樹，根節點將會出現左子樹爲空的狀況；左子樹旋轉後，會平衡爲EH
            (*T)->bf = RH; L->bf = EH; break; case EH://若是爲平衡，那麼根節點和左子樹節點都爲平衡EH
            (*T)->bf = L->bf = EH; break; case RH://若是右子樹高，那麼對根節點賦值爲0，對左子樹賦值爲+1，由於進行旋轉後，左子樹節點的右子樹會空。根節點EH
            (*T)->bf = EH; L->bf = LH; break; } Lr->bf = EH; L_Rotate(&(*T)->lchild); R_Rotate(T); } } void RightBalance(BiTree *T){ BiTree R,Rl; R = (*T)->rchild; switch(R->bf){ case RH: (*T)->bf = R->bf = EH; L_Rotate(T); break; case LH: Rl = R->lchild; switch(Rl->bf){ case LH: //若是是左子數高，那麼對根節點賦值爲-1，由於沒有右子樹，根節點將會出現左子樹爲空的狀況；左子樹旋轉後，會平衡爲EH
            (*T)->bf = EH; R->bf = RH; break; case EH://若是爲平衡，那麼根節點和左子樹節點都爲平衡EH
            (*T)->bf = R->bf = EH; break; case RH://若是右子樹高，那麼對根節點賦值爲0，對左子樹賦值爲+1，由於進行旋轉後，左子樹節點的右子樹會空。根節點EH
            (*T)->bf = LH; R->bf = EH; break; } Rl->bf = EH; R_Rotate(&(*T)->rchild); L_Rotate(T); } }

插入時，要遍歷到子樹的最底層，進行分析，逐層的改變BF值，進行平衡。知道標記taller爲0時，表示對深度不發生改變，就不須要向上遍歷了。

int insertAVL(BiTree *T,int e, int *taller){ if(!(*T)){ (*T)=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); (*T)->data = e; (*T)->lchild = NULL; (*T)->rchild = NULL; (*T)->bf = EH; *taller = 1; }else{ if(e == (*T)->data){ //存在相同節點
            *taller = 0; return 0; } if(e < (*T)->data){ if(!insertAVL(&(*T)->lchild,e,taller)) return 0; if(taller){ switch((*T)->bf){ case LH: LeftBalance(T); *taller = 0; break; case EH: (*T)->bf = LH; *taller = 1; break; case RH: (*T)->bf = EH; *taller = 0; break; } } }else{ if(!insertAVL(&(*T)->rchild,e,taller)) return 0; if(taller){ switch((*T)->bf){ case LH: (*T)->bf = 0; *taller = 0; break; case EH: (*T)->bf=RH; *taller = 1; break; case RH: RightBalance(T); *taller = 0; break; } } } } return 1; }

所有代碼：

#include <stdio.h> #include <stdlib.h>
#define LH +1
#define EH 0
#define RH -1 typedef struct BiTNode{ int data; int bf; struct BiTNode *lchild,*rchild; }BiTNode,*BiTree; void R_Rotate(BiTree *p); void L_Rotate(BiTree *p); void LeftBalance(BiTree *p); void RightBalance(BiTree *T); int insertAVL(BiTree *T,int e, int *taller); void InOrderTree(BiTree b); int main(){ int i; int a[10]={4,7,9,1,2,3,0,5,6,8}; BiTree T = NULL; int *taller = (int *)malloc(sizeof(int)); for(i=0;i<10;i++){ insertAVL(&T,a[i],taller); InOrderTree(T); printf("\n"); } getchar(); } void InOrderTree(BiTree b){ if( b== NULL) return; InOrderTree(b->lchild); printf("%d ",b->data); InOrderTree(b->rchild); } int insertAVL(BiTree *T,int e, int *taller){ if(!(*T)){ (*T)=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); (*T)->data = e; (*T)->lchild = NULL; (*T)->rchild = NULL; (*T)->bf = EH; *taller = 1; }else{ if(e == (*T)->data){ //存在相同節點
            *taller = 0; return 0; } if(e < (*T)->data){ if(!insertAVL(&(*T)->lchild,e,taller)) return 0; if(taller){ switch((*T)->bf){ case LH: LeftBalance(T); *taller = 0; break; case EH: (*T)->bf = LH; *taller = 1; break; case RH: (*T)->bf = EH; *taller = 0; break; } } }else{ if(!insertAVL(&(*T)->rchild,e,taller)) return 0; if(taller){ switch((*T)->bf){ case LH: (*T)->bf = 0; *taller = 0; break; case EH: (*T)->bf=RH; *taller = 1; break; case RH: RightBalance(T); *taller = 0; break; } } } } return 1; } void R_Rotate(BiTree *p){ //傳入一個根節點，進行右旋。定義它的左子樹節點爲L,根節點的左子樹變成L的右子樹，L的右子樹變成根節點。最後把根節點指針指向L
 BiTree L; L = (*p)->lchild; (*p)->lchild =  L->rchild; L->rchild = (*p); (*p) = L; } void L_Rotate(BiTree *p){ //傳入根節點進行右旋
 BiTree R; R = (*p)->rchild; (*p)->rchild = R->lchild; R->lchild = (*p); (*p) = R; } void LeftBalance(BiTree *T){ BiTree L,Lr; L = (*T)->lchild; switch(L->bf){ case LH://符號與根相同，所以進行右旋一次，就好了
        (*T)->bf = L->bf = EH; R_Rotate(T); break; case RH://符號與根不一樣，要進行雙旋；對子樹進行一次旋轉，再對T進行一次旋轉
        Lr = L->rchild; switch(Lr->bf){ case LH: //若是是左子數高，那麼對根節點賦值爲-1，由於沒有右子樹，根節點將會出現左子樹爲空的狀況；左子樹旋轉後，會平衡爲EH
            (*T)->bf = RH; L->bf = EH; break; case EH://若是爲平衡，那麼根節點和左子樹節點都爲平衡EH
            (*T)->bf = L->bf = EH; break; case RH://若是右子樹高，那麼對根節點賦值爲0，對左子樹賦值爲+1，由於進行旋轉後，左子樹節點的右子樹會空。根節點EH
            (*T)->bf = EH; L->bf = LH; break; } Lr->bf = EH; L_Rotate(&(*T)->lchild); R_Rotate(T); } } void RightBalance(BiTree *T){ BiTree R,Rl; R = (*T)->rchild; switch(R->bf){ case RH: (*T)->bf = R->bf = EH; L_Rotate(T); break; case LH: Rl = R->lchild; switch(Rl->bf){ case LH: //若是是左子數高，那麼對根節點賦值爲-1，由於沒有右子樹，根節點將會出現左子樹爲空的狀況；左子樹旋轉後，會平衡爲EH
            (*T)->bf = EH; R->bf = RH; break; case EH://若是爲平衡，那麼根節點和左子樹節點都爲平衡EH
            (*T)->bf = R->bf = EH; break; case RH://若是右子樹高，那麼對根節點賦值爲0，對左子樹賦值爲+1，由於進行旋轉後，左子樹節點的右子樹會空。根節點EH
            (*T)->bf = LH; R->bf = EH; break; } Rl->bf = EH; R_Rotate(&(*T)->rchild); L_Rotate(T); } }

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