二叉查找樹

什麼是二叉查找樹

在數據結構中，有一個奇葩的東西，說它奇葩，那是由於它重要，這就是樹。而在樹中，二叉樹又是當中的貴族。二叉樹的一個重要應用是它們在查找中的應用，因而就有了二叉查找樹。 使二叉樹成爲一顆二叉查找樹，須要知足如下兩點：

1. 對於樹中的每一個節點X，它的左子樹中全部項的值都要小於X中的項；
2. 對於樹中的每一個節點Y，它的右子樹中全部項的值都要大於X中的項。

二叉查找樹的基本操做

如下是對於二叉查找樹的基本操做定義類，而後慢慢分析是如何實現它們的。

template<class T>

class BinarySearchTree

{

public:

    // 構造函數，初始化root值

    BinarySearchTree() : root(NULL){}

    // 析構函數，默認實現

    ~BinarySearchTree() {}

    // 查找最小值，並返回最小值

    const T &findMin() const;

    // 查找最大值，並返回最大值

    const T &findMax() const;

    // 判斷二叉樹中是否包含指定值的元素

    bool contains(const T &x) const;

    // 判斷二叉查找樹是否爲空

    bool isEmpty() const { return root ? false : true; }

    // 打印二叉查找樹的值

    void printTree() const;

    // 向二叉查找樹中插入指定值

    void insert(const T &x);

    // 刪除二叉查找樹中指定的值

    void remove(const T &x);

    // 清空整個二叉查找樹

    void makeEmpty() const;

private:

    // 指向根節點

    BinaryNode<T> *root;

    void insert(const T &x, BinaryNode<T> *&t) const;

    void remove(const T &x, BinaryNode<T> *&t) const;

    BinaryNode<T> *findMin(BinaryNode<T> *t) const;

    BinaryNode<T> *findMax(BinaryNode<T> *t) const;

    bool contains(const T &x, BinaryNode<T> *t) const;

    void printTree(BinaryNode<T> *t) const;

    void makeEmpty(BinaryNode<T> *&t) const;

};

findMin和findMax實現

根據二叉查找樹的性質：

1. 對於樹中的每一個節點X，它的左子樹中全部項的值都要小於X中的項；
2. 對於樹中的每一個節點Y，它的右子樹中全部項的值都要大於X中的項。

咱們能夠從root節點開始：

1. 一直沿着左節點往下找，直到子節點等於NULL爲止，這樣就能夠找到最小值了；
2. 一直沿着右節點往下找，直到子節點等於NULL爲止，這樣就能夠找到最大值了。

以下圖所示：

在程序中實現時，有兩種方法：

1. 使用遞歸實現；
2. 使用非遞歸的方式實現。

對於finMin的實現，我這裏使用遞歸的方式，代碼參考以下：

BinaryNode<T> *BinarySearchTree<T>::findMin(BinaryNode<T> *t) const

{

    if (t == NULL)

    {

        return NULL;

    }

    else if (t->left == NULL)

    {

        return t;

    }

    else

    {

        return findMin(t->left);

    }

}

在findMin()的內部調用findMin(BinaryNode<T> *t)，這樣就防止了客戶端知道了root根節點的信息。上面使用遞歸的方式實現了查找最小值，下面使用循環的方式來實現findMax。

template<class T>

BinaryNode<T> *BinarySearchTree<T>::findMax(BinaryNode<T> *t) const

{

    if (t == NULL)

    {

        return NULL;

    }

    while (t->right)

    {

        t = t->right;

    }

    return t;

}

在不少面試的場合下，面試官通常都是讓寫出非遞歸的版本；而在對樹進行的各類操做，不少時候都是使用的遞歸實現的，因此，在平時學習時，在理解遞歸版本的前提下，須要關心一下對應的非遞歸版本。

contains實現

contains用來判斷二叉查找樹是否包含指定的元素。代碼實現以下：

template<class T>

bool BinarySearchTree<T>::contains(const T &x, BinaryNode<T> *t) const

{

    if (t == NULL)

    {

        return false;

    }

    else if (x > t->element)

    {

        return contains(x, t->right);

    }

    else if (x < t->element)

    {

        return contains(x, t->left);

    }

    else

    {

        return true;

    }

}

算法規則以下：

1. 首先判斷須要查找的值與當前節點值的大小關係；
2. 當小於當前節點值時，就在左節點中繼續查找；
3. 當大於當前節點值時，就在右節點中繼續查找；
4. 當找到該值時，直接返回true。

insert實現

insert函數用來向兒茶查找樹中插入新的元素，算法處理以下：

1. 首先判斷須要插入的值域當前節點值得大小關係；
2. 當小於當前節點值時，就在左節點中繼續查找插入點；
3. 當大於當前節點值時，就在右節點中繼續查找插入點；
4. 當等於當前節點值時，什麼也不幹。

代碼實現以下：

template<class T>

void BinarySearchTree<T>::insert(const T &x, BinaryNode<T> *&t) const

{

    if (t == NULL)

    {

        t = new BinaryNode<T>(x, NULL, NULL);

    }

    else if (x < t->element)

    {

        insert(x, t->left);

    }

    else if (x > t->element)

    {

        insert(x, t->right);

    }

}

remove實現

remove函數用來刪除二叉查找樹中指定的元素值，這個處理起來比較麻煩。在刪除子節點時，須要分如下幾種狀況進行考慮（結合下圖進行說明）： 以下圖所示：

1. 須要刪除的子節點，它沒有任何子節點；例如圖中的節點九、節點1七、節點2一、節點56和節點88；這些節點它們都沒有子節點；
2. 須要刪除的子節點，只有一個子節點（只有左子節點或右子節點）；例如圖中的節點16和節點40；這些節點它們都只有一個子節點；
3. 須要刪除的子節點，同時擁有兩個子節點；例如圖中的節點66等。

對於狀況1，直接刪除對應的節點便可；實現起來時比較簡單的；

對於狀況2，直接刪除對應的節點，而後用其子節點佔據刪除掉的位置；

對於狀況3，是比較複雜的。首先在須要被刪除節點的右子樹中找到最小值節點，而後使用該最小值替換須要刪除節點的值，而後在右子樹中刪除該最小值節點。
假如如今須要刪除包含值23的節點，步驟以下圖所示：

代碼實現以下：

template<class T>

void BinarySearchTree<T>::remove(const T &x, BinaryNode<T> *&t) const

{

    if (t == NULL)

    {

        return;

    }

    if (x < t->element)

    {

        remove(x, t->left);

    }

    else if (x > t->element)

    {

        remove(x, t->right);

    }

    else if (t->left != NULL && t->right != NULL)

    {

        // 擁有兩個子節點

        t->element = findMin(t->right)->element;

        remove(t->element, t->right);

    }

    else if (t->left == NULL && t->right == NULL)

    {

        // 沒有子節點，直接幹掉

        delete t;

        t = NULL;

    }

    else if (t->left == NULL || t->right == NULL)

    {

        // 擁有一個子節點

        BinaryNode *pTemp = t;

        t = (t->left != NULL) ? t->left : t->right;

        delete pTemp;

    }

}

makeEmpty實現

makeEmpty函數用來釋放整個二叉查找樹佔用的內存空間，同理，也是使用的遞歸的方式來實現的。具體代碼請下載文中最後提供的源碼。

總結

這篇文章對數據結構中很是重要的二叉查找樹進行了詳細的總結，雖然二叉查找樹很是重要，可是理解起來仍是很是容易的，主要是須要掌握對遞歸的理解。若是對遞歸有很是紮實的理解，那麼對於樹的一些操做，那都是很是好把握的，而理解二叉查找樹又是後續的AVL平衡樹和紅黑樹的基礎，但願這篇文章對你們有幫助。