【Java】 劍指offer(62) 圓圈中最後剩下的數字

 

本文參考自《劍指offer》一書，代碼採用Java語言。

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題目

　　0, 1, …, n-1這n個數字排成一個圓圈，從數字0開始每次從這個圓圈裏刪除第m個數字。求出這個圓圈裏剩下的最後一個數字。

思路

　　方法一：採用鏈表來存放數據，每次對長度取餘來實現循環

　　將全部數字放入LinkedList鏈表中（LinkedList比ArrayList更適合增刪操做）。假設當前刪除的結點下標爲removeIndex，則下一個要刪除的結點的下標爲：(removeIndex+m-1)%list.size()，經過取餘符號能夠實現類型循環的操做。

　　注：不必用循環鏈表，反而會更麻煩了。

　　方法二：數學推導規律

　　n個數字的圓圈，不斷刪除第m個數字，咱們把最後剩下的數字記爲f(n,m)。

　　n個數字中第一個被刪除的數字是(m-1)%n， 咱們記做k，k=(m-1)%n。

　　那麼剩下的n-1個數字就變成了：0,1,……k-1,k+1,……,n-1，咱們把下一輪第一個數字排在最前面，而且將這個長度爲n-1的數組映射到0~n-2。

　　原始數字：k+1,……,   n-1,       0,    1,……k-1

　　映射數字：0    ,……,n-k-2, n-k-1, n-k,……n-2

　　把映射數字記爲x，原始數字記爲y，那麼映射數字變回原始數字的公式爲 y=(x+k+1)%n。

　　在映射數字中，n-1個數字，不斷刪除第m個數字，由定義能夠知道，最後剩下的數字爲f(n-1,m)。咱們把它變回原始數字，由上一個公式能夠獲得最後剩下的原始數字是（f(n-1,m)+k+1)%n，而這個數字就是也就是一開始咱們標記爲的f(n,m)，因此能夠推得遞歸公式以下：

　　　　　　　　　　f(n,m) =（f(n-1,m)+k+1)%n

　　將k=(m-1)%n代入，化簡獲得：

　　　　　　　　　　f(n,m) =（f(n-1,m)+m)%n

　　　　　　　　　　f(1,m) = 0

　　代碼中能夠採用循環或者遞歸的方法實現該遞歸公式。時間複雜度爲O(n)，空間複雜度爲O(1)。

 

測試算例　

　　1.功能測試（m大於/小於/等於n）

　　2.特殊測試（n、m<=0）

　　3.性能測試（n=4000,n=997）

 

Java代碼

//題目：0, 1, …, n-1這n個數字排成一個圓圈，從數字0開始每次從這個圓圈裏
//刪除第m個數字。求出這個圓圈裏剩下的最後一個數字。

public class LastNumberInCircle {
    /*
     * 方法一：採用推導出來的方法
     */
    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if(n<1 || m<1)
            return -1; //出錯
        int last=0;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            last=(last+m)% i;  //這裏是i不是n！！！
        }
        return last;
    }
    
    /*
     * 方法二：採用鏈表來存放，每次對長度取餘來實現循環
     */
    public int LastRemaining_Solution2(int n, int m) {
        if(n<1 || m<1)
            return -1; //出錯
        LinkedList<Integer> list = new LinkedList<Integer>();
        for(int i=0;i<n;i++)
            list.add(i);
        int removeIndex=0;
        while(list.size()>1){
            removeIndex=(removeIndex+m-1)%list.size();
            list.remove(removeIndex);
        }
        return list.getFirst();
    }
}

　　

收穫

　　1.對於下標循環一圈相似的問題，經過%能夠很好地實現循環，而不須要咱們本身構造循環鏈表；

　　2.(a%n+b)%n=(a+b)%n

　　3.儘可能學會本題的數學方法，特別是要掌握好數字間映射的方法。

　　4.公式法中，last=(last+m)% i;  //這裏是i不是n！！！

　

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