KMP算法的Next數組詳解

轉載請註明來源，幷包含相關連接。

 

網上有不少講解KMP算法的博客，我就不浪費時間再寫一份了。直接推薦一個當初我入門時看的博客吧：
http://www.cnblogs.com/yjiyjige/p/3263858.html
這位同窗用詳細的圖文模式講解了KMP算法，很是適合入門。
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KMP的next數組求法是很不容易搞清楚的一部分，也是最重要的一部分。我這篇文章就以我本身的感悟來慢慢推導一下吧！保證你看完事後是知其然，也知其因此然。

若是你還不知道KMP是什麼，請先閱讀上面的連接，先搞懂KMP是要幹什麼。
下面咱們就來講說KMP的next數組求法。
KMP的next數組簡單來講，假設有兩個字符串，一個是待匹配的字符串strText,一個是要查找的關鍵字strKey。如今咱們要在strText中去查找是否包含strKey，用i來表示strText遍歷到了哪一個字符，用j來表示strKey匹配到了哪一個字符。
若是是暴力的查找方法，當strText[i]和strKey[j]匹配失敗的時候，i和j都要回退，而後從i-j的下一個字符開始從新匹配。
而KMP就是保證i永遠不回退，只回退j來使得匹配效率有所提高。它用的方法就是利用strKey在失配的j爲以前的成功匹配的子串的特徵來尋找j應該回退的位置。而這個子串的特徵就是先後綴的相同程度。
因此next數組其實就是查找strKey中每一位前面的子串的先後綴有多少位匹配，從而決定j失配時應該回退到哪一個位置。

我知道上面那段廢話很難懂，下面咱們看一個彩圖：

這個圖畫的就是strKey這個要查找的關鍵字字符串。假設咱們有一個空的next數組，咱們的工做就是要在這個next數組中填值。
下面咱們用數學概括法來解決這個填值的問題。
這裏咱們借鑑數學概括法的三個步驟（或者說是動態規劃？）：
一、初始狀態
二、假設第j位以及第j位以前的咱們都填完了
三、推論第j+1位該怎麼填

初始狀態咱們稍後再說，咱們這裏直接假設第j位以及第j位以前的咱們都填完了。也就是說，從上圖來看，咱們有以下已知條件：
next[j] == k;
next[k] == 綠色色塊所在的索引;
next[綠色色塊所在的索引] == 黃色色塊所在的索引;
這裏要作一個說明：圖上的色塊大小是同樣的（沒騙我？好吧，請忽略色塊大小，色塊只是表明數組中的一位）。

咱們來看下面一個圖，能夠獲得更多的信息：

1.由"next[j] == k;"這個條件，咱們能夠獲得A1子串 == A2子串（根據next數組的定義，先後綴那個）。

2.由"next[k] == 綠色色塊所在的索引;"這個條件，咱們能夠獲得B1子串 == B2子串。

3.由"next[綠色色塊所在的索引] == 黃色色塊所在的索引;"這個條件，咱們能夠獲得C1子串 == C2子串。

4.由1和2(A1 == A2，B1 == B2)能夠獲得B1 == B2 == B3。

5.由2和3(B1 == B2， C1 == C2)能夠獲得C1 == C2 == C3。

6.B2 == B3能夠獲得C3 == C4 == C1 == C2

上面這個就是很簡單的幾何數學，仔細看看都能看懂的。我這裏用相同顏色的線段表示徹底相同的子數組，方便觀察。

 

接下來，咱們開始用上面獲得的條件來推導若是第j+1位失配時，咱們應該填寫next[j+1]爲多少？

next[j+1]便是找strKey從0到j這個子串的最大先後綴：

#：(#:在這裏是個標記，後面會用)咱們已知A1 == A2，那麼A1和A2分別日後增長一個字符後是否還相等呢？咱們得分狀況討論：

(1)若是str[k] == str[j]，很明顯，咱們的next[j+1]就直接等於k+1。

　　用代碼來寫就是next[++j] = ++k;

(2)若是str[k] != str[j]，那麼咱們只能從已知的，除了A1，A2以外，最長的B1，B3這個先後綴來作文章了。

那麼B1和B3分別日後增長一個字符後是否還相等呢？

因爲next[k] == 綠色色塊所在的索引，咱們先讓k = next[k]，把k挪到綠色色塊的位置，這樣咱們就能夠遞歸調用"#："標記處的邏輯了。

 

因爲j+1位以前的next數組咱們都是假設已經求出來了的，所以，上面這個遞歸總會結束，從而獲得next[j+1]的值。

 

咱們惟一欠缺的就是初始條件了：

next[0] = -1,  k = -1, j = 0

另外有個特殊狀況是k爲-1時，不能繼續遞歸了，此時next[j+1]應該等於0，即把j回退到首位。

即 next[j+1] = 0; 也能夠寫成next[++j] = ++k;

 

public static int[] getNext(String ps)
{
    char[] strKey = ps.toCharArray();
    int[] next = new int[strKey.length];

    // 初始條件
    int j = 0;
    int k = -1;
    next[0] = -1;
 
    // 根據已知的前j位推測第j+1位
    while (j < strKey.length - 1)
    {
        if (k == -1 || strKey[j] == strKey[k])
        {
            next[++j] = ++k;
        }
        else
        {
            k = next[k];
        }
    }

     return next;
}

 

如今再看這段代碼應該沒有任何問題了吧。

優化：

細心的朋友應該發現了，上面有這樣一句話：

(1)若是str[k] == str[j]，很明顯，咱們的next[j+1]就直接等於k+1。用代碼來寫就是next[++j] = ++k;

但是咱們知道，第j+1位是失配了的，若是咱們回退j後，發現新的j(也就是此時的++k那位)跟回退以前的j也相等的話，必然也是失配。因此還得繼續往前回退。

public static int[] getNext(String ps)
{
    char[] strKey = ps.toCharArray();
    int[] next = new int[strKey.length];

    // 初始條件
    int j = 0;
    int k = -1;
    next[0] = -1;
 
    // 根據已知的前j位推測第j+1位
    while (j < strKey.length - 1)
    {
        if (k == -1 || strKey[j] == strKey[k])
        {
            // 若是str[j + 1] == str[k + 1]，回退後仍然失配，因此要繼續回退
            if (str[j + 1] == str[k + 1])
            {
                next[++j] = next[++k];
            }
            else
            {
                next[++j] = ++k;
            }
        }
        else
        {
            k = next[k];
        }
    }

     return next;
}

好了，自此KMP的next求法所有講解完畢。歡迎你們指出文章的錯誤，我好更加完善它。

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下面說說面試的時候，給一個字符串，要你寫出它的Next數組，應該怎麼寫：

①：先對每一位左邊的子串求出最大先後綴串的長度，做爲初始的Next數組

②：由於第一位失配時須要移動i，所以賦值爲-1

③：P[3] == A, Next[3] == 0, P[0] == A;  因此P[3] == P[0], (移動過去後仍是失配,須要繼續移動),優化Next[3]爲Next[0],即-1

④：同理優化Next[10]爲Next[0],即-1

⑤：同理優化P[14],P[15],P[16]