1. 曲線的幾何性質 - 引言

1. 曲線的幾何性質 - 引言

三維空間上的點P，隨着時間的移動，就可以獲得三維空間中的一條曲線Curve。

1. 1 直線

先介紹最基本的直線，假設直線上有兩點，點p爲{1,2,3}，點q爲{-1,4,-7}，其中p爲起點，當相對時間t爲0的時候，位於p點，當時間t發生變化的時候，開始從點p開始進行移動，移動的速度向量爲q-p。那麼直線方程即：

ClearAll["Global`*"]; p = {1,2,3}; q = {-1,4,7}; L = p + t(q-p);

ParametricPlot3D[L,{t,0,100},AxesLabel->{x,y,z}]

直線上的點運行的速度，即爲直線方程對應的導數，也是q-p對應的結果，以下：

D[L,t]

{-2,2,4}

1.2 曲線

對於通常曲線Curve = {px[t], py[t], pz[t]}，即點P隨着時間移動獲得的軌跡。每個時刻的點對應的速度向量能夠由偏導數計算獲得,下面給出一些曲線的示例。

1.2.1 擺線

此處擺線的定義爲：假設一個半徑爲a的園放在x軸上並與(0,0)點接觸，現讓它沿x軸正方向滾動，那麼獲得軌跡爲α(t)=(a(t-Sin[t]),a(1-Cos[t]))。該求解過程經過座標變換，很容易獲得結果。下面來看一下襬線：

ParametricPlot[{a(t-Sin[t]),a(1-Cos[t])}/.a->1,{t,0,4Pi}]

下面來看下另外一種形式的擺線：(x(t),y(t)) = (A + a(t-Sin[t]), B - a(1-Cos[t])).從下圖中能夠看出該式子獲得的是上例中的倒轉形式。這引伸出另外一個證實題：證實對任何選定的初始角度 t₀，粒子老是通過時間 T= Π（其中g爲重力加速度）就滑倒底線底部（即t=Π）。

ParametricPlot[{A+a(t-Sin[t]),B-a(1-Cos[t])}/.{A->10,B->15,a->1},{t,0,4Pi}]

1.2.2 星形線

星形線的函數式爲：a(t)=(aCos[t]^3, aSin[t]^3), 0⩽t⩽2Π。它表示的是一個半徑爲a/4的圓在半徑爲a的圓內沿着圓周進行滾動獲得的運行軌跡。具體顯示以下圖。

ParametricPlot[{a*Cos[t]^3, a*Sin[t]^3}/.a->1,{t,0,2Pi}]

1.2.3 箕舌線

引一條過原點即點P的直線，其中P是圓心爲(0,a)，半徑爲a的圓上的任意一點，求此直線與水平線的交點Q。從Q引一條垂線和過點P的水平線相交，這些交點的集合就是，箕舌線。用參數表示爲：W(t)=(2aTan[t],2aCos[t]^2)。顯示以下圖：

ParametricPlot[{2a*Tan[t],2a*Cos[t]^2}/.a->1,{t,0,2Pi},PlotRange->4]

1.2.4 螺旋線

螺旋線的參數方程爲a(t) = (aCos[t],aSin[t],bt), 0⩽t<∞。以下圖所示：

ParametricPlot3D[{a*Cos[t],a*Sin[t],b*t}/.{a->1,b->0.1},{t,0,15}]