非肯定的自動機NFA肯定化爲DFA

摘要：

　在編譯系統中，詞法分析階段是整個編譯系統的基礎。對於單詞的識別，有限自動機FA是一種十分有效的工具。有限自動機由其映射f是否爲單值而分爲肯定的有限自動機DFA和非肯定的有限自動機NFA。在非肯定的有限自動機NFA中，因爲某些狀態的轉移需從若干個可能的後續狀態中進行選擇，故一個NFA對符號串的識別就必然是一個試探的過程。這種不肯定性給識別過程帶來的反覆，無疑會影響到FA的工做效率。所以，對於一個非肯定的有限自動機NFA M，常常的作法是構造一個肯定的有限自動機DFA M’。

　有窮自動機（也稱有限自動機）做爲一種識別裝置，能準確地識別正規集，即識別正規文法所定義的語言和正規式所表示的集合。引入有窮自動機理論，正是爲詞法分析程序的自動構造尋找特殊的方法和工具。
有窮自動機分爲兩類：肯定的有窮自動機（Deterministic Finite Automata，DFA）和不肯定的有窮自動機（Nondeterministic Finite Automata，NFA）。下面分別給出肯定的有窮自動機和不肯定的有窮自動機的定義、與其有關的概念、不肯定的有窮自動機的肯定化以及肯定的有窮自動機的化簡等算法。

　NFA轉換爲等價的DFA：在有窮自動機的理論裏，有這樣的定理：設L爲一個由不肯定的有窮自動機接受的集合，則存在一個接受L的肯定的有窮自動機。這裏不對定理進行證實，只介紹一種算法，將NFA轉換成接受一樣語言的DFA，這種算法稱爲子集法。寶閥爲一個NFA構造相應的DFA的基本想法是讓DFA的每個狀態對應NFA的一組狀態。也就是讓DFA使用它的狀態去記錄在NFA讀入一個輸入符號後可能達到的全部狀態，在讀入輸入符號串a₁a₂...a_n，以後，DFA處在那樣一個狀態，該狀態表示這個NFA的狀態的一個子集T，T是從NFA的開始狀態沿着某個標記爲a₁a₂...a_n，的路徑能夠到達的那些狀態構成的。

題目：

1.設有 NFA M=( {0,1,2,3}, {a,b},f,0,{3} )，其中 f(0,a)={0,1}  f(0,b)={0}  f(1,b)={2}  f(2,b)={3}

   畫出狀態轉換矩陣,狀態轉換圖，並說明該NFA識別的是什麼樣的語言。

	a	b
0	0,1	0
1		2
2		3
3

 

語言：(a | b)*abb

 

2.NFA 肯定化爲 DFA

1.解決多值映射：子集法

1）. 上述練習1的NFA

		a	b
A	{0}	{0,1}	{0}
B	{0,1}	{0,1}	{0,2}
C	{0,2}	{0,1}	{0,3}
D	{0,3}	{0,1}	{0}

DFA圖：

2）. P64頁練習3

 

 

DFA狀態轉換矩陣

		0	1
A	{S}	{V,Q}	{Q,U}
B	{V,Q}	{Z,V}	{Q,U}
C	{Q,U}	{V}	{Q,U,Z}
D	{V}	{Z}
E	{Z,V}	{Z}	{Z}
F	{Q,U,Z}	{Z,V}	{Q,Z}
G	{Z}	{Z}	{Z}
H	{Q,Z}	{Z}	{Q,Z}

DFA圖：

 

 

 

 

 

2.解決空弧：對初態和全部新狀態求ε－閉包

1）. 發給你們的圖2

 DFA狀態轉換矩陣

		0	1	2
X	ε{A}={ABC}	ε{A}={ABC}	ε{B}={BC}	ε{C}={C}
Y	ε{BC}		ε{B}={BC}	ε{C}={C}
Z	ε{C}			ε{C}={C}

DFA圖：

 

語法：(0*11* | 0*)22* 

 

2）.P50圖3.6

 

 

DFA狀態轉換矩陣

		a	b
0	ε{0}={01247}	ε{38}={3671248}	ε{5}={567124}
1	ε{1234678}	ε{38}={1234678}	ε{59}={5671249}
2	ε{124567}	ε{38}={3671248}	ε{5}={567124}
3	ε{1245679}	ε{38}={3671248}	ε{510}={56712410}
4	ε{12456710}	ε{38}={3671248}	ε{5}={567124}

DFA圖：

 

子集法：

f(q,a)={q1,q2,…,qn},狀態集的子集

將{q1,q2,…,qn}看作一個狀態A，去記錄NFA讀入輸入符號以後可能達到的全部狀態的集合。

步驟：

1）.根據NFA構造DFA狀態轉換矩陣

①肯定DFA的字母表，初態（NFA的全部初態集）

②從初態出發，經字母表到達的狀態集當作一個新狀態

③將新狀態添加到DFA狀態集

④重複23步驟，直到沒有新的DFA狀態

2）.畫出DFA

3）.看NFA和DFA識別的符號串是否一致。