一個抽獎模型的求解

一個抽獎模型的求解

2013-06-19

 

問題描述：

         有3組數，分別都是 [0-9] 10個數字，從中隨機分別各選擇1個數字，不分前後順序，做爲開獎結果。開獎結果設定後，從中隨機分別各選擇1個數字，不分前後順序，做爲抽獎結果。

         若是3個數字與開獎結果徹底匹配，則是一等獎；

         若是2個數字與開獎結果匹配，則是二等獎；

         若是1個數字與開獎結果匹配，則是三等獎；

         若是沒有任何數字與開獎結果匹配，則不中獎；

         問：1. 開獎結果總共有多少種？

                   2. 1、2、三等獎的機率各是多少？

 

求解過程：

         首選計算開獎結果有多少種。從3組 [0-9] 10個數字中各選1個數字，那麼有10^3=1000種狀況，可是這是有序的狀況。這裏不考慮順序，因此對於567與765這樣的狀況，是一種結果。因此，爲了方便處理，咱們對開獎結果設定爲ABC，A、B、C 3個數字非降序排列。經過進而計算出現開獎結果有多少種。

         先考慮最直觀的一種解法：不考慮非降序的狀況，對1000中狀況進行非降序處理，而後去重，統計個數即爲開獎結果的數量。

         程序以下：

#include <iostream>
#include <string>
#include <set>
#include <algorithm>
using namespace std;

void foo(string& s, int n, char c = '0')
{
    if (s.size() >= n)
    {
        return;
    }
    else
    {
        s = string(n-s.size(), c) + s;
    }
}

int main()
{
    char s[3];
    string str;
    set<string> ss;
    for (int i = 0; i != 100; ++i)
    {
        itoa(i, s, 10);
        str = s;
        foo(str, 3);
        sort(str.begin(), str.end());
        ss.insert(str);
    }
    for (int i = 100; i != 1000; ++i)
    {
        itoa(i, s, 10);
        str = s;
        sort(str.begin(), str.end());
        ss.insert(str);
    }
    cout << ss.size() << endl;
    system("PAUSE");
    return 0;
}

　　這樣是處理了全部的1000個結果，對其排序並去重。有種更爲笨拙的方法是，針對每一個結果，去掃描前面是否已經出現過，不過這種原來和上面是同樣的，只不過上面用了set時間複雜度爲O(NlogN)，若是逐個掃描的時間複雜度爲O(N^2)。

　　這兩種方法都不太好，考慮到開獎結果是不區分順序的，因此對於56七、57六、65七、67五、75六、765這六種結果均可以看作是一種結果567，咱們對結果進行非降序處理。處理後的形式爲：ABC，其中A<=B<=C。根據非降序的特性，咱們能夠獲得一種更爲快捷的方式來計算開獎結果的數量。程序以下：

//2.cpp
#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int total = 0;
    for (int A = 0; A != 10; ++A)
    {
        for (int B = A; B != 10; ++B)
        {
            for (int C = B; C != 10; ++C)
            {
                ++total;
            }
        }
    }
    cout << total << endl;
    system("PAUSE");
    return 0;
}

 

         這種方法是根據非降序的特性獲得的結果，時間複雜度爲O(N)。

         綜上所述，咱們知道開獎結果總結有220種結果。

         那麼，這220種結果有幾種形式呢，注意，這裏的220種是非降序處理後的。有如下四種形式：

         AAA

         AAB

         ABB

         ABC

         其中A<B<C。

         四種形式對應的數目分別爲：

         AAA：3個數字同樣，因此共計有10種

         AAB：9+8+7+…+1+0 = 45種

         ABB：9+8+7+…+1+0 = 45種

         ABC：220-10-45-45 = 120種

         也可由程序計算而得：

//3.cpp
#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int total = 0;
    int aaa = 0;
    int aab = 0;
    int abb = 0;
    int abc = 0;
    for (int A = 0; A != 10; ++A)
    {
        for (int B = A; B != 10; ++B)
        {
            for (int C = B; C != 10; ++C)
            {
                if (A == B && B == C)
                {
                    ++aaa;
                }
                else if (A == B && B < C)
                {
                    ++aab;
                }
                else if (A < B && B == C)
                {
                    ++abb;
                }
                else // if (A < B && B < C)
                {
                    ++abc;
                }
                ++total;
            }
        }
    }
    cout << total << endl;
    cout << aaa << endl;
    cout << aab << endl;
    cout << abb << endl;
    cout << abc << endl;
    system("PAUSE");
    return 0;
}

 

         綜上所述，四種狀況的種類數以下：

AAA	10
AAB	45
ABB	45
ABC	120

 

         如今咱們計算一等獎的機率，討論一等獎的機率須要分爲以上四種狀況。

1）  AAA

這種狀況只有AAA這種形式，因此中一等獎的機率爲 1/1000

2）  AAB

這種狀況有AAB、ABA、BAA三種形式，中一等獎的機率爲3/1000

3）  ABB

這種狀況有ABB、BAB、BBA三種形式，中一等獎的機率爲3/1000

4）  ABC

這種狀況有ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA六種形式，中一等獎的機率爲6/1000

         因此，根據全機率公式獲得一等獎的機率爲：

         P(一等獎) = P(AAA)*P(一等獎|AAA) + P(AAB)*P(一等獎|AAB) + P(ABB)*P(一等獎|ABB) +

 P(ABC)*P(一等獎|ABC)

                             = 10/1000*1/1000 + 135/1000*3/1000 + 135/1000*3/1000 + 720/1000*6/1000

                             = 0.00514

 

         二等獎的機率：

1）  AAA

中二等獎既是匹配2個數字，因此抽檢的結果只能是AAX這種，其中X!=A，因此機率爲3*9/1000=27/1000

2）  AAB

a）    AAA 這種狀況有1種

b）    AAX 這種狀況有3*8種

c）    ABB 這種狀況有3種

d）    ABX 這種狀況有6*8種（X != A, X!= B）

因此，機率爲76/1000

3）  ABB

a）  BBB 這種狀況有1種

b）  XBB 這種狀況有3*8種

c）  AAB 這種狀況有3種

d）  ABX 這種狀況有6*8種

因此，機率爲76/1000

4）  ABC

a)         ABA 這種狀況有3種

b)         ABB 這種狀況有3種

c)         ABX 這種狀況有6*7種

d)         ACA 這種狀況有3種

e)         ACC 這種狀況有3種

f)          ACX 這種狀況有6*7種

g)         BCB 這種狀況有3種

h)         BCC 這種狀況有3種

i)           BCX 這種狀況有6*7種

因此，機率爲144/1000

 

因此，根據全機率公式獲得二等獎的機率爲：

P(二等獎) = P(AAA)*P(二等獎|AAA) + P(AAB)*P(二等獎|AAB) + P(ABB)*P(二等獎|ABB) +

P(ABC)*P(二等獎|ABC)

                             = 10/1000*27/1000 + 135/1000*76/1000 + 135/1000*76/1000 +

 720/1000*144/1000

                             = 0.12447

 

         三等獎的機率：

1）  AAA

a)         AXX：3*9=27種狀況

b)         AXY：6*36=216種狀況，或3*72=216種狀況

                   因此，機率爲243/1000

2）  AAB

a)         BBB：1種狀況

b)         AXX：3*8=24種狀況

c)         BBX：3*8=24種狀況※

d)         BXX：3*8=24種狀況

e)         AXY：6*28=168種狀況，或3*56=168種狀況

f)          BXY：6*28=168種狀況，或3*56=168種狀況

因此， 機率爲409/1000

3）  ABB

a)         AAA：1種狀況

b)         AAX：3*8=24種狀況※

c)         AXX：3*8=24種狀況

d)         BXX：3*8=24種狀況

e)         AXY：6*28=168種狀況，或3*56=168種狀況

f)          BXY：6*28=168種狀況，或3*56=168種狀況

因此，機率爲409/1000

4）  ABC

a)         AAA：1種狀況

b)         AAX：3*7=21種狀況※

c)         BBB：1種狀況

d)         BBX：3*7=21種狀況※

e)         CCC：1種狀況

f)          CCX：3*7=21種狀況※

g)         AXX：3*7=21種狀況

h)         BXX：3*7=21種狀況

i)           CXX：3*7=21種狀況

j)           AXY：6*21=126種狀況，或3*42=126種狀況

k)         BXY：6*21=126種狀況，或3*42=126種狀況

l)           CXY：6*21=126種狀況，或3*42=126種狀況

因此，機率爲507/1000

因此，根據全機率公式獲得三等獎的機率爲：

P(三等獎) = P(AAA)*P(三等獎|AAA) + P(AAB)*P(三等獎|AAB) + P(ABB)*P(三等獎|ABB) +

P(ABC)*P(三等獎|ABC)

                       = 10/1000*243/1000 + 135/1000*409/1000 + 135/1000*409/1000 +

720/1000*507/1000

                            = 0.4779

 

         不中獎的機率：

         P（不中獎）= 1 – P（一等獎）– P（二等獎）– P（三等獎）

                               = 1 - 0.00514 - 0.12447 - 0.4779

               = 0.39249

         從四種狀況討論不中獎的機率：

1）  AAA

a)         XXX：9種狀況

b)         XXY：3*36=108種狀況

c)         XYY：3*36=108種狀況

或者b、c合併：9*8*3=216種狀況

d)         XYZ：9*8*7=504種狀況

因此，機率爲729/1000，另外一個角度爲：9/10*9/10*9/10=729/1000

2）  AAB

8/10*8/10*8/10=512/1000

a)         XXX：8種狀況

b)         XXY：3*28=84種狀況

c)         XYY：3*28=84種狀況

或者b、c合併：8*7*3=168種狀況

d)         XYZ：8*7*6=336種狀況

因此，機率爲512/1000

3）  ABB

8/10*8/10*8/10=512/1000

a)         XXX：8種狀況

b)         XXY：3*28=84種狀況

c)         XYY：3*28=84種狀況

或者b、c合併：8*7*3=168種狀況

d)         XYZ：8*7*6=336種狀況

因此，機率爲512/1000

4）  ABC

7/10*7/10*7/10=343/1000

a)         XXX：7種狀況

b)         XXY：3*21=63種狀況

c)         XYY：3*21=63種狀況

或者b、c合併：7*6*3=126種狀況

d)         XYZ：7*6*5=210種狀況

因此，機率爲343種狀況

因此，根據全機率公式獲得不中獎的機率爲：

P(不中獎) = P(AAA)*P(不中獎|AAA) + P(AAB)*P(不中獎|AAB) + P(ABB)*P(不中獎|ABB) +

P(ABC)*P(不中獎|ABC)

                       = 10/1000*729/1000 + 135/1000*512/1000 + 135/1000*512/1000 +

720/1000*343/1000

                            = 0.39249

 

         綜上所述，針對未中獎的機率經過兩種方法獲得的機率是一致的。這也就證實了咱們關於1、2、三等獎的計算是正確的。

獎項	機率
一等獎	0.00514
二等獎	0.12447
三等獎	0.4779
未中獎	0.39249

 

後記：下一步進一步討論以下方面

1. 如何判斷中獎，即如何判斷匹配的數字數及具體匹配了哪些數字

2. 以上討論的是3位的抽獎狀況，針對N位的狀況怎麼辦，針對N位的狀況，若是獲得一個開獎結果的彙總（遞歸實現？）