https://blog.csdn.net/daijin888888/article/details/66970902算法
1、算法的時間複雜度定義數組
在進行算法分析時，語句總的執行次數T(n)是關於問題規模n的函數，進而分析T(n)隨n的變化狀況並肯定T(n)的數量級。算法的時間複雜度，也就是算法的時間量度。記做：T(n)=O(f(n))。它表示隨問題n的增大，算法執行時間的增加率和f(n)的增加率相同，稱做算法的漸進時間複雜度，簡稱爲時間複雜度。其中，f(n)是問題規模n的某個函數。函數
這樣用大寫O()來體現算法時間複雜度的記法，咱們稱之爲大0記法。.net
2、推導大O階方法blog
一、用常數1取代運行時間中的全部加法常數。內存
二、在修改後的運行次數函數中，只保留最高階項。數學
三、若是最高階項存在且不是1，則去除與這個項目相乘的常數。獲得的結果就是大O階。class
3、推導示例效率
一、常數階變量
首先順序結構的時間複雜度。下面這個算法，是利用高斯定理計算1，2，……n個數的和。
int sum = 0, n = 100; /*執行一次*/
sum = (1 + n) * n / 2; /*執行一次*/
printf("%d",sum); /*執行一次*/
這個算法的運行次數函數是f (n) =3。 根據咱們推導大0階的方法，第一步就是把常數項3 改成1。在保留最高階項時發現，它根本沒有最高階項，因此這個算法的時間複雜度爲0(1)。
另外，咱們試想一下，若是這個算法當中的語句 sum = (1+n)*n/2; 有10 句，則與示例給出的代碼就是3次和12次的差別。這種與問題的大小無關（n的多少），執行時間恆定的算法，咱們稱之爲具備O(1)的時間複雜度，又叫常數階。對於分支結構而言，不管是真，仍是假，執行的次數都是恆定的，不會隨着n 的變大而發生變化，因此單純的分支結構(不包含在循環結構中)，其時間複雜度也是0(1)。
二、線性階
線性階的循環結構會複雜不少。要肯定某個算法的階次，咱們經常須要肯定某個特定語句或某個語句集運行的次數。所以，咱們要分析算法的複雜度，關鍵就是要分析循環結構的運行狀況。
下面這段代碼，它的循環的時間複雜度爲O(n)， 由於循環體中的代碼需要執行n次。
int i;
for(i = 0; i < n; i++){
/*時間複雜度爲O(1)的程序步驟序列*/
}
三、對數階
以下代碼：
int count = 1;
while (count < n){
count = count * 2;
/*時間複雜度爲O(1)的程序步驟序列*/
}
因爲每次count乘以2以後，就距離n更近了一分。 也就是說，有多少個2相乘後大於n，則會退出循環。 由2^x=n 獲得x=logn。 因此這個循環的時間複雜度爲O(logn)。
四、平方階
下面例子是一個循環嵌套，它的內循環剛纔咱們已經分析過，時間複雜度爲O(n)。
int i, j;
for(i = 0; i < n; i++){
for(j = 0; j < n; j++){
/*時間複雜度爲O(1)的程序步驟序列*/
}
}
而對於外層的循環，不過是內部這個時間複雜度爲O(n)的語句，再循環n次。 因此這段代碼的時間複雜度爲O(n^2)。
若是外循環的循環次數改成了m，時間複雜度就變爲O(mXn)。
因此咱們能夠總結得出，循環的時間複雜度等於循環體的複雜度乘以該循環運行的次數。
那麼下面這個循環嵌套，它的時間複雜度是多少呢?
int i, j;
for(i = 0; i < n; i++){
for(j = i; j < n; j++){ /*注意j = i而不是0*/
/*時間複雜度爲O(1)的程序步驟序列*/
}
}
因爲當i=0時，內循環執行了n次，當i = 1時，執行了n-1次，……當i=n-1時，執行了1次。因此總的執行次數爲:
用咱們推導大O階的方法，第一條，沒有加法常數不予考慮；第二條，只保留最高階項，所以保留時(n^2)/2; 第三條，去除這個項相乘的常數，也就是去除1/2，最終這段代碼的時間複雜度爲O(n2)。
從這個例子，咱們也能夠獲得一個經驗，其實理解大0推導不算難，難的是對數列的一些相關運算，這更多的是考察你的數學知識和能力。
五、立方階
下面例子是一個三重循環嵌套。
int i, j;
for(i = 1; i < n; i++)
for(j = 1; j < n; j++)
for(j = 1; j < n; j++){
/*時間複雜度爲O(1)的程序步驟序列*/
}
這裏循環了(1^2+2^2+3^2+……+n^2) = n(n+1)(2n+1)/6次，按照上述大O階推導方法，時間複雜度爲O(n^3)。
4、常見的時間複雜度
常見的時問複雜度如表所示。
經常使用的時間複雜度所耗費的時間從小到大依次是：
咱們前面已經談到了。O(1)常數階、O(logn)對數階、O(n)線性階、 O(n^2)平方階等，像O(n^3)，過大的n都會使得結果變得不現實。一樣指數階O(2^n)和階乘階O(n!)等除非是很小的n值，不然哪怕n 只是100，都是噩夢般的運行時間。因此這種不切實際的算法時間複雜度，通常咱們都不去討論。
5、最壞狀況與平均狀況
咱們查找一個有n 個隨機數字數組中的某個數字，最好的狀況是第一個數字就是，那麼算法的時間複雜度爲O(1)，但也有可能這個數字就在最後一個位置上待着，那麼算法的時間複雜度就是O(n)，這是最壞的一種狀況了。
最壞狀況運行時間是一種保證，那就是運行時間將不會再壞了。 在應用中，這是一種最重要的需求， 一般， 除非特別指定， 咱們提到的運行時間都是最壞狀況的運行時間。
而平均運行時間也就是從機率的角度看， 這個數字在每個位置的可能性是相同的，因此平均的查找時間爲n/2次後發現這個目標元素。平均運行時間是全部狀況中最有意義的，由於它是指望的運行時間。也就是說，咱們運行一段程序代碼時，是但願看到平均運行時間的。可現實中，平均運行時間很難經過分析獲得，通常都是經過運行必定數量的實驗數據後估算出來的。通常在沒有特殊說明的狀況下，都是指最壞時間複雜度。
6、算法空間複雜度
咱們在寫代碼時，徹底能夠用空間來換取時間，好比說，要判斷某某年是否是閏年，你可能會花一點心思寫了一個算法，並且因爲是一個算法，也就意味着，每次給一個年份，都是要經過計算獲得是不是閏年的結果。 還有另外一個辦法就是，事先創建一個有2050個元素的數組(年數略比現實多一點)，而後把全部的年份按下標的數字對應，若是是閏年，此數組項的值就是1，若是不是值爲0。這樣，所謂的判斷某一年是不是閏年，就變成了查找這個數組的某一項的值是多少的問題。此時，咱們的運算是最小化了，可是硬盤上或者內存中須要存儲這2050個0和1。這是經過一筆空間上的開銷來換取計算時間的小技巧。到底哪個好，其實要看你用在什麼地方。
算法的空間複雜度經過計算算法所需的存儲空間實現，算法空間複雜度的計算公式記做:S(n)= O(f(n))，其中，n爲問題的規模，f(n)爲語句關於n所佔存儲空間的函數。
通常狀況下，一個程序在機器上執行時，除了須要存儲程序自己的指令、常數、變量和輸入數據外，還須要存儲對數據操做的存儲單元，若輸入數據所佔空間只取決於問題自己，和算法無關，這樣只須要分析該算法在實現時所需的輔助單元便可。若算法執行時所需的輔助空間相對於輸入數據量而言是個常數，則稱此算法爲原地工做，空間複雜度爲0(1)。
一般， 咱們都使用"時間複雜度"來指運行時間的需求，使用"空間複雜度"指空間需求。當不用限定詞地使用"複雜度'時，一般都是指時間複雜度。
7、一些計算的規則
一、加法規則
T(n,m) = T1(n) + T2(m) = O(max{f(n), g(m)})
二、乘法規則
T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O(max{f(n)*g(m)})
三、一個經驗
複雜度與時間效率的關係：
c(常數) < logn < n < n*logn < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!
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較好 通常 較差
8、經常使用算法的時間複雜度和空間複雜度