[CF662C] Binary Table

題目連接

不妨規定先翻轉某些行，再翻轉某些列。

設\(F[x]=\min(\mathbb{pop}(x),\mathbb{pop}((2^n-1)\veebar x))\)，\(S_i\)爲第\(i\)列的表格狀態。

枚舉每一行的翻轉狀況\(p\)，此時的答案爲\(\sum_i F[S_i\veebar p]\)。

總體答案
\[ ans =\min_{p=0}^{2^n-1} \sum_{i=0}^{m-1} F[S_i\veebar p] =\min_{p=0}^{2^n-1} \sum_{q=0}^{2^n-1}F[q]\sum_{i=0}^{m-1} [S_i\veebar p=q] \]

記\(T[x]=\sum_{i=0}^{m-1}[S_i=x]\)，則
\[ ans =\min_{p=0}^{2^n-1} \sum_{q=0}^{2^n-1}F[q]T[p\veebar q] =\min_{p=0}^{2^n-1} \sum_{x=0}^{2^n-1}\sum_{y=0}^{2^n-1}[x\veebar y=p]F[x]T[y] \]

所以直接對\(F,T\)作XOR卷積，拿出結果的最小值便可。

我受夠了你谷公式渲染, 求您們修修MathJax吧

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long 
using namespace std;
const int L=1<<20;
const int N=1e5;

int n,m,s[N];
ll F[L],T[L]; 

void FWT_XOR(ll a[],int len) {
    for(int m=1; m<len; m<<=1)
    for(int i=0,s=m<<1; i<len; i+=s)
    for(int j=0; j<m; ++j) {
        ll x=a[i+j], y=a[i+m+j];
        a[i+j]=x+y, a[i+m+j]=x-y;
    }
}
void IFWT_XOR(ll a[],int len) {
    for(int m=1; m<len; m<<=1)
    for(int i=0,s=m<<1; i<len; i+=s)
    for(int j=0; j<m; ++j) {
        ll x=a[i+j], y=a[i+m+j];
        a[i+j]=(x+y)/2;
        a[i+m+j]=(x-y)/2;
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int len=1<<n,col;
    for(int i=0; i<n; ++i)
    for(int j=0; j<m; ++j) 
        scanf("%1d",&col),s[j]|=col<<i;
    for(int i=0; i<len; ++i) 
        F[i]=min(__builtin_popcount(i),__builtin_popcount((len-1)^i));
    for(int i=0; i<m; ++i) T[s[i]]++;
    FWT_XOR(F,len);
    FWT_XOR(T,len);
    for(int i=0; i<len; ++i) F[i]*=T[i];
    IFWT_XOR(F,len);
    printf("%lld\n",*min_element(F,F+len));
    return 0;
}