哈夫曼樹與哈夫曼編碼

 

 

在通常的數據結構的書中，樹的那章後面，著者通常都會介紹一下哈夫曼(HUFFMAN)

樹和哈夫曼編碼。哈夫曼編碼是哈夫曼樹的一個應用。哈夫曼編碼應用普遍，如

JPEG中就應用了哈夫曼編碼。 首先介紹什麼是哈夫曼樹。哈夫曼樹又稱最優二叉樹，

是一種帶權路徑長度最短的二叉樹。所謂樹的帶權路徑長度，就是樹中全部的葉結點

的權值乘上其到根結點的 路徑長度（若根結點爲0層，葉結點到根結點的路徑長度

爲葉結點的層數）。樹的帶權路徑長度記爲WPL= (W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln)

，N個權值Wi(i=1,2,...n)構成一棵有N個葉結點的二叉樹，相應的葉結點的路徑

長度爲Li(i=1,2,...n)。能夠證實哈夫曼樹的WPL是最小的。

哈夫曼編碼步驟：

1、對給定的n個權值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}構成n棵二叉樹的初始集合F= {T1,T2,T3,...,Ti,...,Tn}，其中每棵二叉樹Ti中只有一個權值爲Wi的根結點，它的左右子樹均爲空。（爲方便在計算機上實現算 法，通常還要求以Ti的權值Wi的升序排列。）
2、在F中選取兩棵根結點權值最小的樹做爲新構造的二叉樹的左右子樹，新二叉樹的根結點的權值爲其左右子樹的根結點的權值之和。
3、從F中刪除這兩棵樹，並把這棵新的二叉樹一樣以升序排列加入到集合F中。
4、重複二和三兩步，直到集合F中只有一棵二叉樹爲止。

簡易的理解就是，假如我有A,B,C,D,E五個字符，出現的頻率（即權值）分別爲5,4,3,2,1,那麼咱們第一步先取兩個最小權值做爲左右子樹構造一個新樹，即取1，2構成新樹，其結點爲1+2=3，如圖：

虛線爲新生成的結點，第二步再把新生成的權值爲3的結點放到剩下的集合中，因此集合變成{5,4,3,3}，再根據第二步，取最小的兩個權值構成新樹，如圖：

再依次創建哈夫曼樹，以下圖：

其中各個權值替換對應的字符即爲下圖：

因此各字符對應的編碼爲：A->11,B->10,C->00,D->011,E->010

霍夫曼編碼是一種無前綴編碼。解碼時不會混淆。其主要應用在數據壓縮，加密解密等場合。

 

C語言代碼實現：

/*-------------------------------------------------------------------------

 * Name:   哈夫曼編碼源代碼。

 * Date:   2011.04.16

 * Author: Jeffrey Hill+Jezze(解碼部分)

 * 在 Win-TC 下測試經過

 * 實現過程：着先經過 HuffmanTree() 函數構造哈夫曼樹，而後在主函數 main()中

 *           自底向上開始(也就是從數組序號爲零的結點開始)向上層層判斷，若在

 *           父結點左側，則置碼爲 0,若在右側,則置碼爲 1。最後輸出生成的編碼。

 *------------------------------------------------------------------------*/

#include <stdio.h>

#include<stdlib.h>

#define MAXBIT      100

#define MAXVALUE  10000

#define MAXLEAF     30

#define MAXNODE    MAXLEAF*2 -1

typedef struct 

{

    int bit[MAXBIT];

    int start;

} HCodeType;        /* 編碼結構體 */

typedef struct

{

    int weight;

    int parent;

    int lchild;

    int rchild;

    int value;

} HNodeType;        /* 結點結構體 */

/* 構造一顆哈夫曼樹 */

void HuffmanTree (HNodeType HuffNode[MAXNODE],  int n)

{ 

    /* i、j： 循環變量，m一、m2：構造哈夫曼樹不一樣過程當中兩個最小權值結點的權值，

        x一、x2：構造哈夫曼樹不一樣過程當中兩個最小權值結點在數組中的序號。*/

    int i, j, m1, m2, x1, x2;

    /* 初始化存放哈夫曼樹數組 HuffNode[] 中的結點 */

    for (i=0; i<2*n-1; i++)

    {

        HuffNode[i].weight = 0;//權值 

        HuffNode[i].parent =-1;

        HuffNode[i].lchild =-1;

        HuffNode[i].rchild =-1;

        HuffNode[i].value=i; //實際值，可根據狀況替換爲字母 

    } /* end for */

    /* 輸入 n 個葉子結點的權值 */

    for (i=0; i<n; i++)

    {

        printf ("Please input weight of leaf node %d: \n", i);

        scanf ("%d", &HuffNode[i].weight);

    } /* end for */

    /* 循環構造 Huffman 樹 */

    for (i=0; i<n-1; i++)

    {

        m1=m2=MAXVALUE;     /* m一、m2中存放兩個無父結點且結點權值最小的兩個結點 */

        x1=x2=0;

        /* 找出全部結點中權值最小、無父結點的兩個結點，併合並之爲一顆二叉樹 */

        for (j=0; j<n+i; j++)

        {

            if (HuffNode[j].weight < m1 && HuffNode[j].parent==-1)

            {

                m2=m1; 

                x2=x1; 

                m1=HuffNode[j].weight;

                x1=j;

            }

            else if (HuffNode[j].weight < m2 && HuffNode[j].parent==-1)

            {

                m2=HuffNode[j].weight;

                x2=j;

            }

        } /* end for */

            /* 設置找到的兩個子結點 x一、x2 的父結點信息 */

        HuffNode[x1].parent  = n+i;

        HuffNode[x2].parent  = n+i;

        HuffNode[n+i].weight = HuffNode[x1].weight + HuffNode[x2].weight;

        HuffNode[n+i].lchild = x1;

        HuffNode[n+i].rchild = x2;

        printf ("x1.weight and x2.weight in round %d: %d, %d\n", i+1, HuffNode[x1].weight, HuffNode[x2].weight);  /* 用於測試 */

        printf ("\n");

    } /* end for */

  /*  for(i=0;i<n+2;i++)

    {

        printf(" Parents:%d,lchild:%d,rchild:%d,value:%d,weight:%d\n",HuffNode[i].parent,HuffNode[i].lchild,HuffNode[i].rchild,HuffNode[i].value,HuffNode[i].weight);

                  }*///測試 

} /* end HuffmanTree */

//解碼 

void decodeing(char string[],HNodeType Buf[],int Num)

{

  int i,tmp=0,code[1024];

  int m=2*Num-1;

  char *nump;

  char num[1024];

  for(i=0;i<strlen(string);i++)

  {

   if(string[i]=='0')

  num[i]=0;        

  else

  num[i]=1;                    

  } 

  i=0;

  nump=&num[0];

 while(nump<(&num[strlen(string)]))

 {tmp=m-1;

  while((Buf[tmp].lchild!=-1)&&(Buf[tmp].rchild!=-1))

  {

   if(*nump==0)

   {

     tmp=Buf[tmp].lchild ;          

   } 

   else tmp=Buf[tmp].rchild;

   nump++;

  } 

  printf("%d",Buf[tmp].value); 

 }

}

int main(void)

{

    HNodeType HuffNode[MAXNODE];            /* 定義一個結點結構體數組 */

    HCodeType HuffCode[MAXLEAF],  cd;       /* 定義一個編碼結構體數組， 同時定義一個臨時變量來存放求解編碼時的信息 */

    int i, j, c, p, n;

    char pp[100];

    printf ("Please input n:\n");

    scanf ("%d", &n);

    HuffmanTree (HuffNode, n);

    for (i=0; i < n; i++)

    {

        cd.start = n-1;

        c = i;

        p = HuffNode[c].parent;

        while (p != -1)   /* 父結點存在 */

        {

            if (HuffNode[p].lchild == c)

                cd.bit[cd.start] = 0;

            else

                cd.bit[cd.start] = 1;

            cd.start--;        /* 求編碼的低一位 */

            c=p;                    

            p=HuffNode[c].parent;    /* 設置下一循環條件 */

        } /* end while */

        /* 保存求出的每一個葉結點的哈夫曼編碼和編碼的起始位 */

        for (j=cd.start+1; j<n; j++)

        { HuffCode[i].bit[j] = cd.bit[j];}

        HuffCode[i].start = cd.start;

    } /* end for */

    /* 輸出已保存好的全部存在編碼的哈夫曼編碼 */

    for (i=0; i<n; i++)

    {

        printf ("%d 's Huffman code is: ", i);

        for (j=HuffCode[i].start+1; j < n; j++)

        {

            printf ("%d", HuffCode[i].bit[j]);

        }

        printf(" start:%d",HuffCode[i].start);

        printf ("\n");

    }

/*    for(i=0;i<n;i++){

    for(j=0;j<n;j++)

        {

             printf ("%d", HuffCode[i].bit[j]);           

        }

        printf("\n");

        }*/

    printf("Decoding?Please Enter code:\n");

    scanf("%s",&pp);

decodeing(pp,HuffNode,n);

    getch();

    return 0;

}