計蒜客 A1596.蒜頭君王國 機率計算(dp)

題目描述

原題連接

有一天，蒜頭君當上了國王。蒜頭君的王國有 $n$ 坐城市，如今他須要在城市之間修建道路使得城市之間相互聯通。
蒜頭君是一個不會規劃的人，他不知道哪些城市之間必需要有道路，因此對於任意兩座城市之間，蒜頭軍會修建道路的機率爲 $p$。
請你計算一下最後修建出來的道路使得 $n$ 座城市都聯通的機率。

輸入格式

輸入包含一個整數 $n(1\le n\le 20)$ 和一個實數 $p(0\le p\le 1)$.

輸出格式

輸出一行一個實數表示答案，輸出結果偏差在 $10^{-5}$ 之內都認爲正確。

輸入樣例

3 0.6

輸出樣例

0.6480000

分析

參考大佬的題解
題目讓求$n$個點都聯通的機率$F(n)$。不妨先求一下$n$個點組成的圖不連通的機率$G(n)$
考慮n個點組成的圖不連通有如下$n-1$中狀況:
$1$個點連通, 且這$1$個點組成的連通塊, 與其他$n-1$個點沒有邊相連
$2$個點連通, 且這$2$個點組成的連通塊, 與其他$n-2$個點沒有邊相連
…
$k$個點連通, 且這$k$個點組成的連通塊, 與其他$n-k$個點沒有邊相連
…
$n-1$個點連通, 且這$n-1$個點組成的連通塊, 與剩餘的$1$個點沒有邊相連


考慮有$k$個點連通的狀況:
首先要選$k$個點, 而第$n$個點必定選,則再從$n-1$個點中選擇$k-1$個, 即$C_{n-1}^{k-1}$
而後保證這$k$個點連通, 即$F(k)$
最後保證這$k$的點與其他$n-k$個點沒有邊相連, 即 $(1-p{)}^{k(n-k)}$ ($p$爲兩點間修路的機率)
從而根據上述$n-1$種狀況求出 $G(n)$, 則 題目所求$F(n)=1-G(n)$

實現

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N = 29;
int n;
double p;
double f[N]; // f[i]表示n個點都聯通的機率
int c(int a, int b) // 計算組合數 C(a,b), 即從a個點中選b個點
{
    int sum = 1;
    for(int i=1; i<=b; i++) sum = sum*(a-b+i)/i;
    return sum;
}
int main()
{
    cin >> n >> p;
    f[1] = 1, f[2] = p; // 易知: 1個點聯通的機率爲1, 2個點聯通機率爲p;
    for(int i=3; i<=n; i++)
    {
        double fail = 0; // 表示i個點不聯通的機率
        for(int j=1; j<=i-1; j++)
        {
            fail += ( c(i-1, j-1)*f[j]*pow(1.0-p,j*(i-j)) );
        }
        f[i] = 1.0-fail;
    }
    printf("%.7lf",f[n]);
    return 0;
}

關於上述實現中組合數$C_n^m$的計算