「數」的起源

注：本文節選自《SOD框架"企業級"應用數據架構實戰》一書之【2.1.1「數」的起源】，轉發自此圖書的在線試讀網站，更多內容可點擊瞭解。

2.1 數據漫話史—抽象、表示與存儲

2.1.1「數」的起源

  《山海經》、《周易》、《黃帝內經》並稱爲"上古三大奇書"，書中記述的事情年代久遠， 內容宏大而又神祕，其中都有「數術」方面的論述和演繹。《黃帝內經·素問·上古天真論》 說：

     「上古之人，其知道者，法於陰陽，和於術數，食飲有節，起居有常，不妄做勞，故能 形與神俱，而盡終其天年，度百歲乃去。」

     這段話是《黃帝內經》這部書有關人類養生方法的總則，是中國中醫養生文化的起源， 而這段話，點睛之筆正是「法於陰陽，和於術數」。術數，術，技術、方法、技巧；數，理 數、氣數、數字。

     《廣雅》：「數，術也。」在筆者看來，這句話正揭示了數的起源和數的應用 與發展。

     在舊石器時代晚期，人類實現了由猿人到人的轉變，經過使用工具進行勞動的過程使得 智力的發展出現了一個飛躍。在長期的生產生活中，原始人類觀察到了日起日落，陰晴圓缺， 食物的有和無，多和少這些對立的事物狀態。「陰陽」是中國上古先民對於天地萬物變化的 二元狀態的一種「抽象」，基於這種抽象認知，發展出一套記述這些狀態的方法、技術，而 這正是數的概念起源。術數，術，技術、方法、技巧；數，理數、氣數、數字。《廣雅》：「數， 術也。」所以，由這種對立的二元狀態創造了最初的數：「一」和「二」。注意，此時僅僅產 生了數的概念，但距離真正用符號來抽象表示產生「數字」概念，那已是新石器時代的事 情了。

     原始人類創造了數的概念後遇到的第一個挑戰就是如何表示這兩個數，但此時遠沒有到 用「陰陽」這兩個文字來表示兩種狀態的程度，那個時候文字尚未產生。若是你穿越到舊 石器時代晚期，你怎麼向你原始族人表示「一」和「二」的概念呢？注意你沒有紙和筆，原 始人也聽不懂你說話，你的任務就是教會他們識別這兩個數。此時，你應該用什麼最合適的 方式來表示這兩個數呢？用兩顆石子？用兩我的？對不起對面的兩個原始人徹底聽不懂你 在說什麼。用兩頭獵物？對不起你的本領已經徹底退化哪裏有能力現場給族人打兩隻獵物 來？… 正當你仰天長嘆根本沒法完成這個艱鉅的任務的時候，擡頭看見密密的樹林忽然給 了你靈感：有了，用兩根樹枝，兩根同樣長的樹枝擺在地上，這個時候你準備變一個「戲法」， 將一和二的概念變化出來，由於你確信，不論是原始人仍是現代人，人們對於變「戲法」總 是感興趣的。

     第一步，在地上放一根樹枝，原始人不明白你這是要幹什麼，因此你得「煞有其事」的 用某種神祕的舞蹈動做和聲響，吸引他們的注意力，讓他們過來觀看。
     第二步，在地上接着再放一根樹枝，原始人可能不解，你多出來一根樹枝要作什麼？
     第三步，你拉來兩個原始人，讓他們分別站在兩根樹枝旁邊，每一根樹枝指向一我的。 原始人仍然不明白你要作什麼，但大家的肢體語言可能已經讓他們明白你要和他們作一個遊 戲。你得用某種聲響來增強這種認識，好比學他們的原始語言。
     第四步，你將地上其中一根樹枝從中掰斷，示意樹枝指向的那個原始人離開遊戲「圈子」。
     第五步，你將地上另一根樹枝從中掰斷，示意樹枝指向的另一個原始人也離開遊戲 「圈子」。
     第六步，你向衆人展現這兩根掰斷的樹枝；緊接着，你從新拿出兩根無缺的樹枝，邀請 人羣中其餘的原始人也來玩你的遊戲，重複第一步到第五步的過程，讓你的原始族人明白完 好的一根樹枝能夠表明一我的，而一根掰斷的樹枝表示離開一我的，兩根樹枝能夠表明兩個 人。注意，開始不要同時邀請三我的一塊兒玩，由於這個時候原始族人還無法理解「三」這個 概念。

     友情提示：當您和您的原始族人玩這個遊戲的時候，必定要有所獎賞，或者在他們吃飽 喝足了來玩這個遊戲，不然，原始人也沒有這麼無聊陪你玩，當心打死你啊我可不負責任的， 哈哈！

     以上故事純屬虛構，是否有相似情景也由於年代太太久遠而沒法考證。可是，相似的這 種對「數」的概念的進行表述的行爲愈來愈廣泛了，人們逐漸發現有更多的數須要記錄，從 1、二逐漸發展到三，發展到十，計數的方法有用手指頭，用繩子打結，或者用石頭在巖壁 上刻畫線條等等。不過相比起來，「結繩計數」（如圖 2-1）這種方式更科學；用手指計數， 手指易變，用來作計算過程的臨時存儲能夠，但不適合長久保存；用刻畫石頭計數，結果不 方便攜帶。因此「結繩計數」方法就普遍流傳開來了，早在《易經》中，就有「結繩而治」 的記載。到了近代，一些沒有文字的民族，仍然用「結繩記事」來傳播信息。

圖 2-1 結繩記數

     「結繩計數」是人們對於「數」的概念理解和數的表示運用上一個重要的里程碑，它早 於文字的產生而發展的，每增長一個「節」表示增大一個數，就跟前面虛構的那個用樹枝表 示數的概念同樣，一根樹枝表示一我的，兩根樹枝表示兩我的，以後原始人就能明白，三根 樹枝能表示三我的。在這裏將使用一個重要的概念：序列。一排樹枝，一串繩結，甚至一行 石子，都是用相同的事物按順序排列組成一個「序列」，而後用序列的元素來表示一個「數」。

     「序列」的重要特色就是它的元素有大小，元素排列是有序的，老是從大到小或者從小 到大的一種順序排列。好比如今進行數據庫查詢的時候，對某一列數據進行排序，排序以後 的這列數據就是一個序列。在數學概念上，序列的這個特徵能夠用一個「遞歸」函數來表示， 即序列裏面的一個元素老是比它前面一個元素大某個數或者小某個數。對於一個「天然數」 序列，這個定義能夠表示成「天然數序列裏面，序列裏面的某個元素老是比它前面一個元素 要大一個數」。 前面已經知道，古人經過事物的二元對立狀態，發現了最先的天然數：「一」 和「二」。如今「咱們」即將教會原始人學習一個新的數：「三」。假設您仍是前面那個穿越 的現代人，你只須要再拿一根樹枝，按照從上到下的順序擺放，您告訴原始人，這能夠表示 「三個原始人」。俗話說「事不過三」，以原始人當前的智力只能明白到這個數了，再教下去 也是徒勞。

     不過，雖然教會原始人學習更大的「數」很困難，可是藉助於「序列」在數學上的遞歸 定義，能夠教會計算機來表示更大的數。假設有一個天然數序列 SN，第 n 個數就是天然數 N，它老是比它以前一個天然數 m 大 1，那麼這個天然數序列能夠表示成：
     SN=[1 ，2，… ,m,n]
     設函數 SN(n)的做用是計算序列 SN 中的第 n 個天然數 N，獲得如下函數表達式：
     N=SN(n)
     等價於下面的表達式：
     N=SN(m)+1
     這就是表示天然數 N 的遞歸函數定義！

     爲了便於計算機處理，須要將序列進行簡化，首先簡化到只有兩個數，也就是前面故事 裏面講的原始人最開始的認知水平，那麼上面的表達式能夠推導出：
     IF SN=[1,2]
     THEN M=1,N=2
     進一步簡化，假設這個序列只有 1 個元素：
     IF SN=[1]
     THEN M=0,N=1
     注意：數字 0 是好久之後纔出現的概念，原始人還沒法理解這個數字概念，這一步驟是 爲了用計算機程序計算方便才進行的推導步驟。
     進行最後的化簡，假設這個序列沒有任何元素，那麼第 N 個元素就是 0：
     IF SN=[]
     THEN M=NULL,N=0

     上面這段對於天然數序列 SN 的函數推導過程，可使用函數式編程語言的鼻祖--Lisp 語言來表示處理。Lisp 即列表處理語言，全名是 List Processor。Lisp 只使用了不多語法 元素就定義了一套強大的語言，它的主要數據結構就是列表，只使用不多的操做符來處理列 表，而這些操做符自己就是一個函數。因此，這裏的天然數序列 SN 可使用 Lisp 語言的列 表來表示，好比下面的表達式：

(List 1 2 3)

表示序列 SN=[1,2,3]。
     這個列表也能夠表示成下面這樣：
     ‘(1 2 3)
     注意，這裏是用序列來表示天然數，由於對於原始人來講，當前根本沒有阿拉伯數字 1， 2，3，也尚未中文數字一，二，三。那麼要表示數字「三」，只能這樣：
     ‘(1 1 1)
     或者
     ‘(A A A)
     或者

  ‘( )

好比手指，繩結，甚至到了現代，用隨意的一個字母符號的序列也能表示「數」，好比 用 A 表示 1，用 AA 表示 2，用 AAA 表示 3… 這種表示數的方法是最簡單最有效的方法，這 些符號載體是「數」最原始的載體，若是把一條打滿了節的繩子看作一個「內存條」，是不 是很簡單直接的理解了計算機內存的使用原理了？因此，用「序列」來表示數，真是一個偉 大的發明！

     下面，筆者使用 Lisp 語言程序來表達如何經過一個序列來定義任何一個天然數：

;LISP語言示例1 
(defun my-number (lst)
 (if (null lst)
 0
 (1+ (my-number (rest lst)))))

這段 Lisp 程序的意思是定義一個處理序列 lst 的函數 my-number,

若是序列爲空
 那麼 返回結果 0
 不然 1+(以前一個數)

注意，在前面設計的教原始人理解「數」的遊戲中，要告訴他們怎麼獲得「以前一個數」 的辦法很簡單，直接從地上的那一排樹枝的頭或者尾拿掉一根樹枝就行了。Lisp 的函數 rest 的功能就是去除列表的第一個元素返回剩餘元素構成的表，這樣，這個新的列表所表示的數 就是「以前一個數」了：

(my-number (rest lst))

下面運行 my-number 這個函數來計算任意序列所表示的數字：

  程序的運行效果以下圖 2-2 所示:

(my-number '(1 1))
     輸出：2
     (my-number '(1 1 1))
     輸出：3
     (my-number '(A A ))
     輸出：2
     (my-number '(A A A))
     輸出：3

圖 2-2 Lisp程序--數的序列定義示例

注：以上程序使用 Common Lisp 編寫，在 LispBox 中調試經過。

     讀到這裏，聰明的您可能發現，這不就是求一個列表的長度麼？沒錯，列表的長度就是 這個序列所表示的天然數的大小。這個長度能夠很長，理論上，這樣的列表無限長，能夠表 示無限大的數。

 假設這個列表中的每個元素所在的位置表示它所對應的數，那麼這個列表就是存儲這 些「數」的容器，假設它所在的位置能夠經過一個指針迅速定位，經過移動指針的位置來標 記寫入或者讀取一個數。指針向前移動到一個位置，在這個位置寫下一個標記，表示當前位 置的元素有效；在這個位置擦除以前的標記，當前位置無效，指針回退上一個元素的位置。 這個過程如圖 2-3 所示。若是將這個列表看做是對一個無限長的紙帶所打的孔，那麼紙帶就 至關因而「數」的存儲器，
操做紙帶的機器就是一個最簡單的「計算機」，上面定義處理「序 列」的函數 my-number 就是這樣的計算機。實際上這個機器它就是一部「圖靈機」。

圖2-3 圖靈機原理示意圖

 

     可能思路跳躍的有點快，這裏簡單總結下，由事物二元對立的狀態古人發現了最先的自 然數「一」和「二」，而後發展到了經過一種事物的「序列」來表示更多的天然數，古人發 明瞭「結繩計數」的方法。經過對「序列」的「遞歸定義」分析，發現了表示一個天然數內 在的數學原理，由這個原理的「程序化」定義，發現可以處理「序列」的機器就是一部「圖 靈機」。有了圖靈機，就能進一步處理複雜的計算問題，最終根據圖靈機的原理建造了電子 計算機，直到如今的超級計算機它都沒有脫離這個計算的本質。

     可見，「數」的本質就是計算。數的表示、處理就是計算的方法。《廣雅》：「數，術也。」 中國先賢們的智慧實在是無比深厚啊！

     若是說「數」就是計算，那麼數的存儲表示就是「數據」，對「數」的處理就是計算的 方法，這個處理過程的表示就是常說的「程序」。可見「數據」和「程序」是等價的：數據 是程序，程序是數據。一種程序語言可以體現出這個特色，Lisp 真是神奇的語言！