1、RSA加密過程簡述java
A和B進行加密通訊時,B首先要生成一對密鑰。一個是公鑰，給A，B本身持有私鑰。A使用B的公鑰加密要加密發送的內容，而後B在經過本身的私鑰解密內容。算法
2、RSA加密算法基礎安全
整個RSA加密算法的安全性基於大數不能分解質因數。app
3、數學原理dom
(一) 互質關係：兩個數a和b沒有除1外的其餘公約數，則a與b互質函數
1. 任意兩個質數構成互質關係this
2. 兩個數中，若是大數爲質數，則兩數一定互質編碼
3. 1和任意整數互質加密
4. 當p>1時，p與p-1互質(相鄰兩數互質)spa
5. 當p=2n+1(n>0且n爲整數)時，p與p+2互質(相連的兩個奇數互質)
(二) 求歐拉函數：
定義：與正整數n互質且小於正整數n的正整數的個數。一般使用ψ(n)表示。
求取與正整數n互質的正整數的個數ψ(n),且ψ(n)知足ψ(n)∈(2,n)
1. 若是n=1,則ψ(n)=1
2. 若是n是質數,則ψ(n)=n-1
3. 若是n是質數p的次方,則：ψ(p^k)=p^k-p^(k-1) = p^k*(1-1/p)
4. 若p1和p2互質,n=p1*p2,則ψ(n)= ψ(p1*p2)= ψ(p1) ψ(p2)
5. 任意一個大於1的正整數均可以寫成一系列質數的積
6. 根據定理5，推導歐拉定理：
由於
n = (p1^k1)* (p2^k2)*……(pr^kr) (p1~pr都是質數)
因此
ψ(n)= ψ((p1^k1)) ψ(p2^k2) ……ψ(pr^kr) 定理4
ψ(n)= (p1^k1)*(1-1/p1) * (p2^k2)(1-1/p2)……(pr^kr)*(1-1/pr) 定理3
ψ(n)= (p1^k1)* (p2^k2)*……(pr^kr) * (1-1/p1) (1-1/p2)…… (1-1/pr)
ψ(n)=n (1-1/p1) (1-1/p2)…… (1-1/pr)
(三) 歐拉定理：
正整數a與n互質，則下式恆成立
a^ψ(n) ≡1(mod n)
即：
a的ψ(n)次冪除以n,餘數恆爲1
(四) 模反元素
若是兩個正整數a和n互質,則一定存在整數b使得a*b-1被n除餘數爲1
ab ≡1(mod n)
其中b被稱爲a的模反元素
4、RSA算法詳解：假設A和B要通訊
(一) 生成密鑰
1. 公鑰
1) 隨機生成兩個不相等的質數p和q(質數越大越安全)
2) 計算n,n=p*q 則n的二進制位數就是密鑰的長度。
3) 計算n的歐拉函數ψ(n)
由於
n=p*q
因此
ψ(n) =ψ(p)* ψ(q) 定理4
又p和q爲質數
因此
ψ(p)=p-1 定理2
ψ(q)=q-1 定理2
因此
ψ(n) = (p-1)(q-1)
4) 獲取隨機正整數e,e知足 e∈(1, ψ(n))且e與ψ(n)互質(一般選擇65537)
將n和e封裝成公鑰
2. 私鑰
1) 計算e對於ψ(n)的模反元素d
e*d=1(modψ(n));
設正整數k, e*d = kψ(n)+1;
則ed-kψ(n)=1
d = (kψ(n)+1) / e;
對於不定方程ax+by=c，設gcd(a,b)=d，若是ax+by=c有解，則d|c----->也就是說若是ed-kψ(n)=1 有解,則gcd(d,-k)可以整除1,而1顯然能夠被任何整數整除,因此該二元一次方程一定有解(d,k)
(歐幾里得定理和擴展歐幾里得定理計算二元一次方程)
2) 將n和d封裝成私鑰
5、RSA算法可靠性論證
從上文能夠統計出整個算法涉及到的量有6個，其中三個爲由私鑰持有者生成，三個是私鑰持有者推導出來的
生成量：p,q,e
推導量：n, ψ(n),d
密鑰中只有公鑰被髮布,全部人均可以獲取。而公鑰由n和e封裝起來,所以,若是要破解一份RSA加密過的密文,咱們必須使用私鑰(私鑰由n和d封裝而成)
n能夠從公鑰獲取。
(假設mc爲明文，c爲密文，則公鑰由n和e封裝則意味着求取密文的運算中，n，e和mc是已知數，只有c是未知數；私鑰由n和d封裝，同上，解密密文的運算中，n，d和c是已知的，只有mc是未知數。)
所以,破解私鑰的關鍵就是破解e對於ψ(n)的模反元素d。
其數學關係是： e*d=1(modψ(n));
所以需須要先求出ψ(n),而求出ψ(n)須要知道ψ(p)和ψ(q)(由於ψ(n)= ψ(p* ψ(q))
而p和q只能經過分解n的質因數得到。因此,整個RSA算法都基於n這個大數不能分解質因數這個基礎上。
所以，只要n夠大，私鑰就不會被破解
6、加解密過程：假設明文是m,c是密文
(一) 加密：使用公鑰(n,e)
先將其換算成asc碼或者unicode等其餘數值。且m必須小於n
則加密算法是
m^e=c(mod n)
推出
m^e / n = k ……c這裏c就是密文，k咱們不關心
(二) 解密：使用私鑰(n,d)
1. 簡單的說解密就是經過下式求m。(必定能夠求解出m)
c^d = m(mod n)
推出
c^d / n = k … … m m就是明文編碼，不關心k
查表得出明文
第二部分：RSA算法簽名與驗籤
假設A要想B發送消息，A會先計算出消息的消息摘要，而後使用本身的私鑰加密這段摘要加密，最後將加密後的消息摘要和消息一塊兒發送給B，被加密的消息摘要就是「簽名」。
B收到消息後，也會使用和A相同的方法提取消息摘要，而後使用A的公鑰解密A發送的來簽名，並與本身計算出來的消息摘要進行比較。若是相同則說明消息是A發送給B的，同時，A也沒法否定本身發送消息給B的事實。
其中，A用本身的私鑰給消息摘要加密成爲「簽名」；B使用A的公鑰解密簽名文件的過程，就叫作「驗籤」。
數字簽名的做用是保證數據完整性，機密性和發送方角色的不可抵賴性
下面是對簽名和驗簽過程的簡要描述：
l 簽名過程：
1. A計算消息m的消息摘要,記爲 h(m)
2. A使用私鑰(n,d)對h(m)加密，生成簽名s ,s知足：
s=(h(m))^d mod n;
因爲A是用本身的私鑰對消息摘要加密，因此只用使用s的公鑰才能解密該消息摘要，這樣A就不能否認本身發送了該消息給B。
3. A發送消息和簽名(m,s)給B。
l 驗簽過程：
1. B計算消息m的消息摘要,記爲h(m);
2. B使用A的公鑰(n,e)解密s,獲得
H(m) = s^e mod n;
3. B比較H(m)與h(m),相同則證實
第三部分：總結
下面簡單總結加密和解密的完整過程。
l 簽名過程：
1. A提取消息m的消息摘要h(m),並使用本身的私鑰對摘要h(m)進行加密,生成簽名s
2. A將簽名s和消息m一塊兒,使用B的公鑰進行加密,生成密文c,發送給B。
l 驗證過程：
1. B接收到密文c,使用本身的私鑰解密c獲得明文m和數字簽名s
2. B使用A的公鑰解密數字簽名s解密獲得H(m).
3. B使用相同的方法提取消息m的消息摘要h(m)
4. B比較兩個消息摘要。相同則驗證成功;不一樣則驗證失敗。
下面是借鑑一個網友的Demo,加上我本身註釋後,打包的一個Demo。
EnAndDe.java
package com.joe.main;
import java.io.*;
import java.math.BigInteger;
import java.util.ArrayList;
/**
* <p>
* Company: 建工學院
* </p>
*
* @author 04信息（1）程晟
* @modify Joe
* @Description Demo說明：
* 一、按照加密解密和簽名驗籤的邏輯,編寫簡單的demo,不涉及java中繼承的RSA相關類和Sigesture簽名類
* 二、只能對數字和字母進行加密, 不涉及編碼和解碼問題 。 三、不作數字簽名和驗證了,涉及到提取信息摘要。
*/
public class EnAndDe {
private long p = 0;
private long q = 0;
private long n = 0;
private long t = 0; // 歐拉函數
private long e = 0; // 公匙
private long d = 0; // 密匙
private String mc; // 明文
private long c = 0; // 密文
private long word = 0; // 解密後明文
// 判斷是一個數 x 否爲素數素數就是判斷在 (2,√x)範圍內有沒有除1外的因數,若是沒有則x數素數
public boolean isPrime(long t) {
long k = 0;
k = (long) Math.sqrt((double) t);
for (int i = 2; i <= k; i++) {
if ((t % i) == 0) {
return false;
}
}
return true;
}
// 隨機產生大素數(1e6數量級，注意，太大了要超出範圍)
public void bigprimeRandom() {
do {
p = (long) (Math.random() * 1000000);
} while (!this.isPrime(p));
do {
q = (long) (Math.random() * 1000000);
} while (p == q || !this.isPrime(q));
}
// 輸入PQ
public void inputPQ() throws Exception {
this.bigprimeRandom();
System.out.println("自動生成兩個大素數p,q分別爲:" + this.p + " " + this.q);
this.n = (long) p * q;
this.t = (long) (p - 1) * (q - 1);
System.out.println("這兩個素數的乘積爲p*q：" + this.n);
System.out.println("所得的t=(p-1)(q-1)：" + this.t);
}
// 求最大公約數
public long gcd(long a, long b) {
long gcd;
if (b == 0)
gcd = a;
else
gcd = gcd(b, a % b);
return gcd;
}
// 生成公匙
public void getPublic_key() throws Exception {
do {
this.e = (long) (Math.random() * 100000);
// e知足 e∈(1, ψ(n))且e與ψ(n)最大公約數爲1,即 e與t互質
} while ((this.e >= this.t) || (this.gcd(this.t, this.e) != 1));
System.out.println("生成的公鑰爲：" + "(" + this.n + "," + this.e + ")");
}
// 生成私鑰 e*d=1(modψ(n))==> d = (kψ(n)+1) / e
public void getPrivate_key() {
long value = 1; // value 是e和d的乘積
outer: for (long k = 1;; k++) {
value = k * this.t + 1;
if ((value % this.e == 0)) {
this.d = value / this.e;
break outer;
}
}
System.out.println("產生的一個私鑰爲：" + "(" + this.n + "," + this.d + ")");
}
// 輸入明文
public void getText() throws Exception {
System.out.println("請輸入明文：");
BufferedReader stdin = new BufferedReader(new InputStreamReader(
System.in));
mc = stdin.readLine();
}
// 解密密文
public void pascolum() throws Exception {
this.getText();
System.out.println("輸入明文爲: " + this.mc);
// 加密
ArrayList cestr = new ArrayList();
for (int i = 0; i < mc.length(); i++) {
this.c = this.colum((long) mc.charAt(i), this.n, this.e);
cestr.add(c);
}
System.out.println("加密後所得的密文爲：" + cestr);
// 解密
StringBuffer destr = new StringBuffer();
for (int j = 0; j < cestr.size(); j++) {
this.word = this.colum(Long.parseLong(cestr.get(j).toString()),
this.n, this.d);
destr.append((char) word);
}
System.out.println("解密後所得的明文爲：" + destr);
}
// 加密、解密計算
public long colum(long mc, long n, long key) {
BigInteger bigy = new BigInteger(String.valueOf(mc));
BigInteger bign = new BigInteger(String.valueOf(n));
BigInteger bigkey = new BigInteger(String.valueOf(key));
return Long.parseLong(bigy.modPow(bigkey, bign).toString());// 備註1
}
public static void main(String[] args) {
try {
EnAndDe t = new EnAndDe();
t.inputPQ();
t.getPublic_key();
t.getPrivate_key();
t.pascolum();
} catch (Exception e) {
e.printStackTrace();
}
}
}
備註1：modPow(a,b)是java類BigInteger中的一個方法，返回結果是：調用該方法的對象的a次冪,模b的結果