第3章 同餘式 -《信息安全數學基礎》

1、基本概念及一次同餘式：

一、同餘式的基本概念

定義1.1：

設m是一個正整數，f(x)爲多項式f(x) = a_nxⁿ + ··· + a₁x + a₀，其中ai是整數，則f(x) ≡ 0（mod m）（*）叫作模m同餘式。

若an  0（mod m），則n叫作f(x) 的次數，記爲degf。此時 * 式又叫作模m的n次同餘式。

若是整數x = a使得 * 式成立，即f(a) ≡ 0（mod m）則a叫作該同餘式 * 的解。

事實上，知足x ≡ a（mod m）的全部整數使得同餘式 * 成立，即a所在剩餘類Ca = { c | c ∈ Z，c ≡ a（mod m）}中的每一個剩餘都使得同餘式 * 成立，所以，同餘式 * 的解a一般寫成x ≡ a（mod m）。

在模m的徹底剩餘系中，使得同餘式 * 成立的剩餘個數叫作同餘式 * 的解數。

同餘式求解的基本思路：

1. 求解歸約（f(x)（mod m）<=== f(x)（mod pα）<=== f(x)（mod p））；
2. 解的存在性（如定理1.1）；
3. 解的個數（如定理1.3，4.4，4.5）；
4. 具體求解（定理2.1，定理4.1）。

二、一次同餘式

一次同餘式求解的基本思路：

（a，m）= 1，ax ≡ 1（mod m）===> （a，m）= 1，ax ≡ b（mod m）===> ax ≡ b（mod m）0

定理1.1：

設m是一個正整數，a是知足m  a的整數，則一次同餘式ax ≡ 1（mod m）（*）有解的充分必要條件是（a，m）= 1。並且，當同餘式 * 有解時，其解是惟一的。

定義1.2：

設m是一個正整數，a是一個整數。若是存在整數a'使得a · a' ≡ a' ` a ≡ 1（mod m）成立，則a叫作模m可逆元。

根據定理1.1，在模m的意義下，a'是惟一存在的。這是a'叫作a的模m逆元，記做a' = a^-1（mod m）。

所以，在定理3.1的條件下，同餘式（*）即ax ≡ 1（mod m）的解可寫成x ≡ a^-1（mod m）。

定理1.2：

設 m 是一個正整數，則整數 a 是模 m簡化剩餘的充要條件是整數 a 是模 m 逆元。

定理1.3：

 

2、中國剩餘定理：

一、中國剩餘定理：「物不知數」與韓信點兵

 

定理2.1：

二、兩個方程的中國剩餘定理

定理2.2：

定理2.3：

三、中國剩餘定理之構造證實

 

四、中國剩餘定理之遞歸證實

 

五、中國剩餘定理之應用 —— 算法優化

例2.1：

例2.2：

例2.3：

定理2.4：

命題2.1：

推論：

 

3、高次同餘式的解數及解法：

一、高次同餘式的解數

定理3.1：

二、高次同餘式的提高

定理3.2：

三、高次同餘式的提高 —— 具體應用

例3.1：

 

 

4、素數模的同餘式：

一、素數模的多項式歐幾里得除法

引理4.1（多項式歐幾里得除法）：

設f(x) = a_nxⁿ + ··· + a₁x + a₀爲n次整係數多項式，g(x) = x^m + ··· + b₁x + b₀爲m ≥ 1次首一整係數多項式，則存在整係數多項式q(x)和r(x)使得f(x) = q(x) · g(x) + r(x)，deg r(x) < deg g(x)。

二、素數模的同餘式的簡化

定理4.1：

同餘式與一個次數不超過p - 1的模p同餘式等價。 

三、素數模的同餘式的因式分解

定理4.2：

設1 ≤ k ≤ n。若是x ≡ a_i（mod p），i = 1，···，k，是同餘式的k個不一樣解，則對任何整數x，都有f(x) ≡ f_k(x) · (x - a₁) · ··· ·(x - a_k)（mod p），其中f_k(x)是n - k次多項式，首項係數是a_n。

定理4.3：

四、素數模的同餘式的解數估計

定理4.4：

同餘式的解數不超過它的次數。

推論：

次數 < p的整係數多項式對全部整數取值模p爲0的充要條件是其係數被p整除。

定理4.5：

設p是一個素數，n是一個正整數，n ≤ p。那麼同餘式f(x) = x_n + ··· + a₁x + a₀ ≡ 0（mod p）有n個解得充分必要條件是x^p - x被f(x)除所得餘式的全部係數都是p的倍數。

推論：

設p是一個正整數，d是p - 1的正因數，那麼多項式x^d - 1模p有d個不一樣的根。

 

上一篇：

http://www.javashuo.com/article/p-pnbjxuwo-vc.html