關於Bell數的一道題目

 

考慮 T3+1  {1,2,3,4}

T3是3個元素的劃分，若是在裏面加入子集{4},   4被標成特殊元素，  就造成了T4一類的劃分（裏面的子集的並集是{1,2,3,4})

 

T2是2個元素的劃分，若是在裏面加入子集{4,x1} -- x是從{1,2,3}裏面任意取一個， {4,x}加到T2的劃分中造成了T4的一類劃分。 就是帶特殊元素4,子集是2個元素的{4,x}形式的一類劃分。

 

T1是1個元素的劃分，若是在裏面加入子集{4,x1,x2}--x1,x2是從{1,2,3}裏任意取二個,{4,x1,x2}加到T1的劃分中造成了T4的一類劃分。就是帶特殊元素4，子集是2個元素的{4,x1,x2}形式的一類劃分。

 

T0是0個元素的劃分，若是在裏面加入子集{4,x1,x2,x3}--x1,x2,x3是從{1,2,3}裏任意取3個。 {4，x1,x2,x3}加入到T0中造成T4的一類劃分。 這個也就對應2.8題公式前面的數字1

 

如今討論這個劃分的合理性:

帶特殊元素的子集在 n+1的狀況下有 :

設第n+1個元素是sEle

1個元素（長度）{sEle}  共 C(n,0)=1種。{sEle}加入到Tn的劃分中就造成了Tn+1的一類劃分。

2個元素  (長度)  {sEle,1} {sEle,2} {sEle,3}.....{sEle,n} 共  C(n,1)種 。{sEle,x}加入到Tn-1 中就造成了Tn+1的一類劃分。

3個元素（長度）{sEle,1,2}   {sEle,1,3} .....{sEle,1,n}..... 共C(n,2)種。

....................

n+1個元素(長度) {sEle,1,2,3....n} 共C(n,n)=1 種 。 {sEle,1,2,3...n}加入到Tn-n(即T0參考上圖，就是空集) 中造成Tn+1的一類劃分。

 

首先上面的劃分，特殊元素組成的長度1個元素的子集與長度n+1的子集都涉及了，另外長度同樣比方長度2但另一個元素能夠是一、二、3.、、、、n的狀況也考慮了。

因此上面的劃分考慮特殊元素的全部組合是完備的。 另外T0 到 Tn的每一個劃分是惟一的 ，比方T6的任意一個劃分中的子集的並集都是[1,2,3,4,5,6}即6個元素，加入惟一的{sEle,x1,x2....}後

造成的Tn+1一個劃分也是惟一的----意思是跟T7,Tx等不會出現重複的意思。

 

https://blog.csdn.net/MIKASA3/article/details/51283929

https://blog.csdn.net/wust_cyl/article/details/79323038