算法學習--字符串--最長迴文子串

題目背景

給定一個字符串str，若子串s是迴文串（如aba, abba），則稱s爲str的迴文子串，如今須要求出str的最長迴文子串

解法

1.枚舉法

這種解法比暴力法好一點，就是遍歷字符串每一位str[i]：

（1）首先若是是aba型，那就從i出發往兩邊擴張，看str[i-1]跟str[i+1]是否相等，進而擴張到str[i-k]跟str[i+k]，直到str[i-(k+1)]跟str[i+(k+1)]不相等，注意這個擴張的前提的不越界，這樣子就能獲得最長長度是1+2*k

（2）再者還得討論abba型，那就從i，i+1分別出發往兩邊擴張，看str[i-1]跟str[i+1+1]是否相等，進而擴張到str[i-k]跟str[i+1+k]，直到str[i-(k+1)]跟str[i+1+(k+1)]不相等，注意這個擴張的前提的不越界，這樣子就能獲得最長長度是2+2*k

取（1）和（2）中較大的值，最後綜合全部的i，取出最最大的值就是最長迴文子串

這種解法的時間複雜度是O(n2)，可是還存在一種線性的時間複雜度算法

2.Manacher算法

首先須要對字符串進行預處理，目的是要統一aba和abba的解法，作法是在每一個字符串間隙和頭尾都加上#

如 a b b a --> # a # b # b # a #

這樣生成新的字符串S，它必定是個奇數，經過有字母的字符位能夠計算aba的狀況，經過#的字符位能夠計算abba的狀況，這樣就很好把兩種狀況統一了

定義一個數組P[i]，來記錄以字符S[i]爲中心的最長迴文子串向左/右擴張的長度（包括S[i]），即單邊的範圍

接下來須要考慮的是已經P[0],P[1]...P[i-1]的狀況下怎麼獲得P[i]

從0...i-1中取一個id，使P[id]+id最大，記作mx=P[id]+id，這個mx顯然是以前的最長迴文子串可以到達的最右端的範圍

如今就考察i有沒有落在[0,mx)區間，若是沒落在那就說明以前的P[0],P[1]...P[i-1]都沒法幫助計算P[i]，須要用枚舉法計算，若是落在，那就說明P[0],P[1]...P[i-1]至少是有價值的，進一步能夠分類討論：

設i關於id的對稱點爲j，知足j=2*id-i，設mx關於id的對稱點my，知足my=2*k-mx

若（1）mx-i>P[j]，也即j-my>P[j]，這種狀況就是迴文裏嵌迴文，因此直接可得P[i]=P[j]

（2）mx-i<P[j]，也即j-my<P[j]，這種狀況是部分迴文裏嵌迴文，沒法直接獲得P[i]，但至少能夠得知P[i]>mx-i，這樣也能夠省下很多計算，直接從mx-i開始用枚舉法往外擴張求得最後值

最後貼一下代碼

void Manacher(const char* str)
{
    int size = strlen(str);
    int N = 2*size+1;
    int* p = new int[N];
    int mx = 1;
    int id = 0;
    p[0] = 1;
    for(int i = 1; i < N; i++)
    {
        if(i < mx)
            p[i] = min(p[2*id-i], mx-i);
        else
            p[i] = 1;
        while((i != p[i]) && (((i+p[i]) % 2 == 1)
            || (str[(i+p[i])/2-1] == str[(i-p[i])/2-1])))
            p[i]++;
        if(mx < i + p[i])
        {
            mx = i + p[i];
            id = i;
        }
    }
    Print(str);
    Print(p, N);
    delete[] p;
}