遞歸的理解與實現

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知其然知其因此然

前言

咱們在寫業務代碼的時候，或多或少都會遇到須要使用遞歸的場景，好比在遍歷樹形結構時。

本文將經過遞歸的經典案例：求斐波那契數來說解遞歸，經過畫遞歸樹的方式來說解其時間複雜度和空間複雜度以及遞歸的執行順序，歡迎各位感興趣的開發者閱讀本文。

遞歸的基本理解

• 表象理解

  • 函數會本身調用本身
  • 每一次調用，函數的參數都會收斂變小

• 實質理解

  • 把一個大問題變成1個或n個小問題
  • 用一樣的邏輯來解決這些問題
  • 最後把他拼湊起來，拼成全局問題

• 具體實現

  • 先寫Base case，定義基線條件，判斷其是否爲最小號問題，避免死循環
  • Recursive rule：遞歸規則

實例解析

接下來咱們經過一個實例來說解遞歸的應用。

求斐波那契數

求特定位置的斐波那契數，用遞歸實現代碼很簡單，接下來咱們先看下斐波那契數的概念。

• 0號位置的斐波那契數是0
• 1號位置的斐波那契數是1
• n(n>1)號位置的斐波那契數等於 n-1位置的斐波那契數 + n-2位置的斐波那契數

咱們知道怎麼計算斐波那契數後，就能夠用遞歸來將其實現了。

咱們能夠將上述遞歸的理解中應用到求斐波那契數裏，實現思路和實現代碼以下：

• Base case: 0號位置的斐波那契數是0，1號位置的斐波那契數是1。即:n === 0 return 0, n === 1 return 1;
• Recursive rule: n號位置的值 = n - 1位置的值 + n - 2位置的值，即:fibonacciNumbers(n - 1) + fibonacciNumbers(n - 2);

const fibonacciNumbers = function(n){
 // base case  if(n === 0){  return 0;  }else if(n === 1){  return 1;  }   // Recursive rule  return fibonacciNumbers(n - 1) + fibonacciNumbers( n - 2); } 複製代碼

時間複雜度分析

咱們將上述代碼執行過程轉換成以下圖所示的遞歸樹，觀察二叉樹中的節點後咱們發現以下規律：

1. 第0層有1個節點，第1層有2個節點，第2層有4個節點，第3層...第n層，每一層的節點數都是上一層的2倍。

2. 即：1 + 2 + 4 + 8 + 2^(n-1)，等比數列求和後：2^n，時間複雜度爲：O(2^n)。

3. 最後一層結點的總數，遠遠超過其餘全部層的總數。

4. 時間複雜度取決於遞歸樹中一共有多少節點。

5. 全部遞歸的時間複雜度均可以經過遞歸樹來分析。

空間複雜度分析

分析空間複雜度咱們能夠經過遞歸的執行順序來分析，咱們將上述代碼的執行順序整理成遞歸圖標示其執行順序，咱們發現以下規律：

1. 因爲馮諾伊曼體系的影響，遞歸樹執行時採用深度優先的方式執行。即：順着一條線執行到底（蜜橙色線條）。

2. 圖中每一層執行時的bp全稱爲：break point，每一層執行到bp時，會將當前層的變量(n)記錄一下，放進Call stack中。

3. 因爲執行遞歸樹中的每一層時，都會有一個Call stack操做，將當前層的變量(n)放進去，所以遞歸樹中有多少個調用棧取決於遞歸樹的層數，所以空間複雜度爲O(n)。

4. 空間複雜度與節點總數關係不大，與其在Call stack裏總共存了多少層直接相關。

5. 全部遞歸的空間複雜度均可以經過遞歸樹來分析。

執行順序分析

上述遞歸圖的執行順序以下圖所示，接下來帶着代價來分析下每一步都作了哪些事情：

• 當函數執行到 return fibonacciNumbers(n - 1) + fibonacciNumbers( n - 2) 的時候，因爲馮諾伊曼體系的影響，它不會並行執行，他會先執行fibonacciNumbers(n - 1)函數，觸發基線條件時，return到上一層，取出其在上一層在call Stack中存儲的n的值，而後再去執行fibonacciNumbers( n - 2)函數，計算它右子樹的值。
• 所以他會先執行fibonacciNumbers(n - 1)函數，即:F(4) => F(3) ... =>F1（圖中的第1行）
• 當他執行到F(1)的時候，n = 1，觸發基線條件return 1返回到上一層F(2)，即圖中的第2行
• 返回到F(2)層時，取出當前層Call Stack中存儲的n的值，執行fibonacciNumbers(n - 2)函數，執行到F(0)，即圖中的第3行
• 此時F(0)中n的值爲0，觸發基線條件，return 0，即圖中的第4行
• 此時(2)節點的左子樹和右子樹的值都計算出來了，所以能夠執行fibonacciNumbers(n - 1) + fibonacciNumbers( n - 2)函數，將左、右子樹的值相加，即獲得了F(2)的值，而後return至上一層F(3)，即圖中的第5行。
• 返回到F(3)時，與第3步同樣，獲取其右子樹的值，而後重複第3至6步的步驟，直至計算出F(3)和F(2)的值，將其相加就得出了F(4)的值，此時F(4)處的值就是咱們須要求的斐波那契數，即圖中的第6～16行。

寫在最後

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