最短路徑問題：弗洛伊德算法（Floyd）

Floyd算法

1.定義概覽

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解決任意兩點間的最短路徑的一種算法，能夠正確處理有向圖或負權的最短路徑問題，同時也被用於計算有向圖的傳遞閉包。Floyd-Warshall算法的時間複雜度爲O(N³)，空間複雜度爲O(N²)。

 

2.算法描述

1)算法思想原理：

     Floyd算法是一個經典的動態規劃算法。用通俗的語言來描述的話，首先咱們的目標是尋找從點i到點j的最短路徑。從動態規劃的角度看問題，咱們須要爲這個目標從新作一個詮釋（這個詮釋正是動態規劃最富創造力的精華所在）

      從任意節點i到任意節點j的最短路徑不外乎2種可能，1是直接從i到j，2是從i通過若干個節點k到j。因此，咱們假設Dis(i,j)爲節點u到節點v的最短路徑的距離，對於每個節點k，咱們檢查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，若是成立，證實從i到k再到j的路徑比i直接到j的路徑短，咱們便設置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，這樣一來，當咱們遍歷完全部節點k，Dis(i,j)中記錄的即是i到j的最短路徑的距離。

2).算法描述：

a.從任意一條單邊路徑開始。全部兩點之間的距離是邊的權，若是兩點之間沒有邊相連，則權爲無窮大。 　　

b.對於每一對頂點 u 和 v，看看是否存在一個頂點 w 使得從 u 到 w 再到 v 比己知的路徑更短。若是是更新它。

3).Floyd算法過程矩陣的計算----十字交叉法

方法：兩條線，從左上角開始計算一直到右下角 以下所示

給出矩陣，其中矩陣A是鄰接矩陣，而矩陣Path記錄u,v兩點之間最短路徑所必須通過的點

 

相應計算方法以下：

 

 

最後A₃即爲所求結果。

【例題】：最短路問題

【問題描述】：

　　平面上有n（n<=100），每一個點的座標均在-10000~10000之間。其中的一些點之間有連線。

　　如有連線，則表示能夠從一個點到達另外一個點，即兩個點之間有通路，通路的距離爲兩點之間的距離，如今的任務是找出從一點到另外一個點的最短距離。

【輸入格式】：

第一行：n。

第二行到第n+1行：每行兩個整數，描述了一個點的座標。

第n+2行爲一個整數m，表示圖中的連線的個數。

此後的m行，每行一個連線，有兩個整數i和j組成，表示第i 和j個點之間有連線。

最後一行：兩個整數：s，t，分別表示起點和終點的座標。

【輸出格式】：

一個整數表示從s到t的最短路的距離。

【輸入樣例】：

5

0 0

2 0

2 2

0 2

3 1

5

1 2

1 3

1 4

2 5

3 5

1 5

【輸出樣例】：3.41

【參考程序】：

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring>
using namespace std; int a[101][3]; double f[101][101]; int n,i,j,x,y,k,m,s,e; int main() { cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i][1]>>a[i][2]; cin>>m; memset(f,0x7f,sizeof) for(int i=1;i<=m;i++) { cin>>x>>y; f[y][x]=f[x][y]=sqrt(pow(a[x][1]-a[y][1],2)+pow(double(a[x][2]-a[y][2]),2)); } cin>>s>>e; for(int k=1;k<=n;k++) for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) if(i!=j)&&(i!=k)&&(k!=j) if(f[i][k]+f[k][j]<f[i][j]) f[i][j]=f[i][k]+f[k][j]; printf("%.2lf\n",,f[s][e]); return 0; }