樹鏈剖分詳解

前言

• 樹鏈剖分是什麼？

樹鏈剖分，說白了就是一種讓你代碼不得不強行增長1k的數據結構-dms

　　我的理解：+1:joy:

• 有什麼用？

證實出題人很是毒瘤

能夠很是友(bao)好(li)的解決一些樹上問題:grimacing:

（友情提示：學樹鏈剖分以前請先掌握線段樹）

核心思想

樹鏈剖分的思想比較神奇

它的思想是：把一棵樹拆成若干個不相交的鏈，而後用一些數據結構去維護這些鏈

 

那麼問題來了

•  如何把樹拆成鏈？

首先明確一些定義

重兒子：該節點的子樹中,節點個數最多的子樹的根節點(也就是和該節點相連的點)，即爲該節點的重兒子

重邊：鏈接該節點與它的重兒子的邊

重鏈：由一系列重邊相連獲得的鏈

輕鏈：由一系列非重邊相連獲得的鏈

這樣就不可貴到拆樹的方法

對於每個節點，找出它的重兒子，那麼這棵樹就天然而然的被拆成了許多重鏈與許多輕鏈

•  如何對這些鏈進行維護？

首先，要對這些鏈進行維護，就要確保每一個鏈上的節點都是連續的，

所以咱們須要對整棵樹進行從新編號，而後利用dfs序的思想，用線段樹或樹狀數組等進行維護（具體用什麼須要看題目要求，由於線段樹的功能比樹狀數組強大，因此在這裏我就不提供樹狀數組的寫法了）

 注意在進行從新編號的時候先訪問重鏈

這樣能夠保證重鏈內的節點編號連續

 

上面說的太抽象了，結合一張圖來理解一下

對於一棵最基本的樹

 

給他標記重兒子，

 藍色爲重兒子，紅色爲重邊

而後對樹進行從新編號

橙色表示的是該節點從新編號後的序號

不難看出重鏈內的節點編號是連續的

 

 

而後就能夠在線段樹上搞事情啦

像什麼區間加區間求和什麼的

另外有一個性質：以$i$爲根的子樹的樹在線段樹上的編號爲$[i,i+子樹節點數-1]$

 

接下來結合一道例題，加深一下對於代碼的理解

 

代碼

題目連接

樹鏈剖分的裸題

首先來一坨定義

 

int deep[MAXN];//節點的深度 
int fa[MAXN];//節點的父親 
int son[MAXN];//節點的重兒子 
int tot[MAXN];//節點子樹的大小 

 

第一步

按照咱們上面說的，咱們首先要對整棵樹dfs一遍，找出每一個節點的重兒子

順便處理出每一個節點的深度，以及他們的父親節點

 

int dfs1(int now, int f, int dep) {
    deep[now] = dep;
    fa[now] = f;
    tot[now] = 1;
    int maxson = -1;
    for (int i = head[now]; i != -1; i = edge[i].nxt) {
        if (edge[i].v == f) continue;
        tot[now] += dfs1(edge[i].v, now, dep + 1);
        if (tot[edge[i].v] > maxson) maxson = tot[edge[i].v], son[now] = edge[i].v;
    }
    return tot[now];
}

 

 

 

 

第二步

而後咱們須要對整棵樹進行從新編號

我把一開始的每一個節點的權值存在了$b$數組內

 

void dfs2(int now, int topf) {
    idx[now] = ++cnt;
    a[cnt] = b[now];
    top[now] = topf;
    if (!son[now]) return ;
    dfs2(son[now], topf);
    for (int i = head[now]; i != -1; i = edge[i].nxt)
        if (!idx[edge[i].v])
            dfs2(edge[i].v, edge[i].v);
}

 

 

 

$idx$表示從新編號後該節點的編號是多少

另外，這裏引入了一個$top$數組，

$top[i]$表示$i$號節點所在重鏈的頭節點(最頂上的節點)

至於這個數組有啥用，後面再說

 

第三步

咱們須要根據從新編完號的樹，把這棵樹的上每一個點映射到線段樹上，

 

struct Tree {
    int l, r, w, siz, f;
} T[MAXN];

 

void Build(int k, int ll, int rr) {
    T[k].l = ll; T[k].r = rr; T[k].siz = rr - ll + 1;
    if (ll == rr) {
        T[k].w = a[ll];
        return ;
    }
    int mid = (ll + rr) >> 1;
    Build(ls, ll, mid);
    Build(rs, mid + 1, rr);
    update(k);
}

 

 

 

另外線段樹的基本操做，

這裏就不詳細解釋了

直接放代碼

 

void update(int k) { //更新
    T[k].w = (T[ls].w + T[rs].w + MOD) % MOD;
}

 

void IntervalAdd(int k, int ll, int rr, int val) { //區間加
    if (ll <= T[k].l && T[k].r <= rr) {
        T[k].w += T[k].siz * val;
        T[k].f += val;
        return ;
    }
    pushdown(k);
    int mid = (T[k].l + T[k].r) >> 1;
    if (ll <= mid)    IntervalAdd(ls, ll, rr, val);
    if (rr > mid)    IntervalAdd(rs, ll, rr, val);
    update(k);
}
int IntervalSum(int k, int ll, int rr) { //區間求和
    int ans = 0;
    if (ll <= T[k].l && T[k].r <= rr)
        return T[k].w;
    pushdown(k);
    int mid = (T[k].l + T[k].r) >> 1;
    if (ll <= mid) ans = (ans + IntervalSum(ls, ll, rr)) % MOD;
    if (rr > mid)  ans = (ans + IntervalSum(rs, ll, rr)) % MOD;
    return ans;
}
void pushdown(int k) { //下傳標記
    if (!T[k].f) return ;
    T[ls].w = (T[ls].w + T[ls].siz * T[k].f) % MOD;
    T[rs].w = (T[rs].w + T[rs].siz * T[k].f) % MOD;
    T[ls].f = (T[ls].f + T[k].f) % MOD;
    T[rs].f = (T[rs].f + T[k].f) % MOD;
    T[k].f = 0;
}

 

第四步

咱們考慮如何實現對於樹上的操做

樹鏈剖分的思想是:對於兩個不在同一重鏈內的節點,讓他們不斷地跳,使得他們處於同一重鏈上

那麼如何"跳」呢？

還記得咱們在第二次$dfs$中記錄的$top$數組麼？

有一個顯然的結論：$x$到$top[x]$中的節點在線段樹上是連續的，

結合$deep$數組

假設兩個節點爲$x$,$y$

咱們每次讓$deep[top[x]]$與$deep[top[y]]$中大的(在下面的)往上跳(有點相似於樹上倍增)

讓x節點直接跳到$top[x]$,而後在線段樹上更新

最後兩個節點必定是處於同一條重鏈的，前面咱們提到太重鏈上的節點都是連續的，直接在線段樹上進行一次查詢就好

 

void TreeSum(int x, int y) { //x與y路徑上的和
    int ans = 0;
    while (top[x] != top[y]) {
        if (deep[top[x]] < deep[top[y]]) swap(x, y);
        ans = (ans + IntervalSum(1, idx[ top[x] ], idx[x])) % MOD;
        x = fa[ top[x] ];
    }
    if (deep[x] > deep[y]) swap(x, y);
    ans = (ans + IntervalSum(1, idx[x], idx[y])) % MOD;
    printf("%d\n", ans);
}
void TreeAdd(int x, int y, int val) { //對於x,y路徑上的點加val的權值
    while (top[x] != top[y]) {
        if (deep[top[x]] < deep[top[y]]) swap(x, y);
        IntervalAdd(1, idx[ top[x] ], idx[x], val);
        x = fa[ top[x] ];
    }
    if (deep[x] > deep[y])    swap(x, y);
    IntervalAdd(1, idx[x], idx[y], val);
}

 

 

 

在樹上查詢的這一步可能有些抽象，咱們結合一個例子來理解一下

仍是上面那張圖，假設咱們要查詢$3.6$這兩個節點的之間的點權合，爲了方便理解咱們假設每一個點的點權都是$1$

剛開始時

$top[3]=2,top[6]=1$

$deep[top[3]]=2,deep[top[6]]=1$

咱們會讓$3$向上跳,跳到$top[3]$的爸爸,也就是$1$號節點

這是$1$號節點和$6$號節點已經在同一條重鏈內,因此直接對線段樹進行一次查詢便可

對於子樹的操做

這個就更簡單了

由於一棵樹的子樹在線段樹上是連續的

因此修改的時候直接這樣

IntervalAdd(1,idx[x],idx[x]+tot[x]-1,z%MOD);

 

時間複雜度

(剛開始忘記寫了,這一塊是後來補上的)

性質1

若是邊$\left( u,v\right)$,爲輕邊,那麼$Size\left( v\right) \leq Size\left( u\right) /2$。

證實：顯然:joy:，不然該邊會成爲重邊

性質2

樹中任意兩個節點之間的路徑中輕邊的條數不會超過$\log _{2}n$,重路徑的數目不會超過$\log _{2}n$

證實：不會:stuck_out_tongue_winking_eye:

 

有了上面兩條性質，咱們就能夠來分析時間複雜度了

因爲重路徑的數量的上界爲$\log _{2}n$，

線段樹中查詢/修改的複雜度爲$\log _{2}n$

那麼總的複雜度就是$\left( \log _{2}n\right) ^{2}$

例題

洛谷P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

樹剖能夠求LCA，沒想到吧

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8097366.html

洛谷P2590 [ZJOI2008]樹的統計

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/7157156.html

這份代碼是之前寫的，可能比較醜，下面兩份是剛剛寫的

洛谷P3178 [HAOI2015]樹上操做

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8094286.html

洛谷P3038 [USACO11DEC]牧草種植Grass Planting

有點意思

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8094429.html