人類的數學抽象思惟

抽象的數學

現在的數學已經變得至關抽象深奧，但實際上數學卻並不是生來如此，數學的發展主要是由現實問題來推進，對數學進行抽象能使其成爲通用性更強的理論。經過抽象思惟從實際問題中提取出規律和概念，將更加本質性的東西提取出來是很是有必要的。這些規律能推廣到其它不少學科上，好比物理、化學、計算機科學、天文學等等，幾乎大部分學科都跟數學相關。

數字的抽象

最先最簡單的抽象與計數相關，在古代尚未所謂的數字符號，草原上的牧羊人想要管理本身的羊羣看會不會少了，該怎麼辦呢？他們找來一堆石頭，而後每把一頭羊趕進羊圈就拿出一顆石頭，直到全部羊都入圈後保存好全部拿出的石頭，這些石頭就表明全部羊的數量。當要覈對羊的數量時則能夠比對羊和石頭，若是石頭多了則是羊少了。

後來有了符號後牧羊人能夠經過畫羊來計數，每隻羊對應一個羊的圖案，那麼一百隻羊就要畫一百個羊的圖案。相似地，若是人們有50只雞就要畫50個雞的符號，鴨就對應鴨的圖案。此時，不知道誰提出了一個具備革命性的想法，將數字從具體事物中提取出來。創造出了一、二、三、4...的數字，這時的數字能夠表示任一物體，能夠是羊也能夠是雞。至此，計數過程當中將數字抽象出來，這是人類思惟的一次偉大昇華抽象。

算術的抽象

當數字抽象獨立出來後，很天然地就引出了數字計算的問題。好比兩撥石頭合併到一塊兒一共有多少顆石頭，剛摘的10個蘋果送給了別人2個本身還剩幾個，抓了5只青蛙一共有多少條腿，20頭羊平均分給4我的每一個人能分多少。相似的生活中的這些具體問題數不勝數，但它們都有內在的共同規律，因而人們抽象出了加減乘除等操做。

人們在生產實踐中發現了數與數之間的性質，並將基類的經驗加以整理，從而造成了算術。數字與數字之間包含了不一樣的關係，生產實踐中不少問題能夠經過算術來計算。

幾何的抽象

現實世界中的物體充滿了各類優美的形狀，隨着人類在建築、天文、手工業等行業的發展，人們積累了大量的具象物體形狀方面的經驗。好比三角形、正方形、圓形、球體、正方體等等。這些幾何形狀都有某些共同的性質，好比長度、角度、面積和體積等等，因而人們從經驗中總結了某些定律。

將具象的物體的抽象爲幾何形狀，再研究總結各類幾何形狀的性質及定理，極大地促進了人類的生活和生產的進步。不少沒法經過實際測量的事物，幾何學卻能提供解決方法，好比地球的周長，古代的埃及人利用幾何原理就能獲得一個很接近的值。

未知數的抽象

就在數字、算術和幾何以後，數學家帶來了未知數的概念，事物的量均可以抽象爲未知數。結合實際狀況的條件約束以方程式的方式表達，便可以經過逆向思惟來解決問題。實際上，未知數和方程就是對解決問題的逆向思惟的抽象。假設已知結果x，而後將數學的推理放入方程式中，最後推導出結果。方程式將數學思惟邏輯進行抽象，並轉成符號運算，使得不少問題可以輕易解決而且更容易理解。

邏輯的抽象

數學家的腦洞愈來愈大，此次要被抽象的是邏輯。自亞里士多德以來，邏輯學和數學都是分開研究各自發展的。直到後來德國的哲學家萊布尼茨才嘗試將它們結合起來，經過將兩種現有的思想結合起來，以造成第三種創新思想，即異類聯想。後來發展出數理邏輯這門學科，他們的目標是將抽象的邏輯用精確的數學符號來表示。

可否將人類的思想抽象成符號表，而後提供相似算術的算子來對這些符號進行操做呢？

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