PCB仿真軟件與電磁場求解器的算法

1. 簡介

        目前商業化的PCB仿真軟件主要有： Cadence公司的Sigrity、Ansys公司的SIwave/HFSS、CST公司的CST、Mentor公司的HyperLynx、Polor公司的Si9000等。不一樣的仿真軟件所使用的電磁場求解器各不同，可是能夠大體分爲幾類：

• 按仿真維度分： 2D、2.5D、3D
• 按逼近類型分： 靜態、準靜態、TEM波、全波

        下表中列出了各類電磁場求解器的特色以及適用的結構和場合。

維度	逼近類型	適合結構	應用場合	特色
2D	準靜態	橫截面在長度方向無變化	傳輸線的RLGC低頻建模	不適應任意結構，高頻精度低
2D	全波	橫截面在長度方向無變化	傳輸線的RLGC全頻建模	不適應任意結構
2.5D	TEM波	多層平面結構	電源地平面結構低頻建模	當結構是3D時，帶有寄生效應；當缺乏參考面時，高頻段結果不許
2.5D	全波、邊界元法、矩量法	疊層結構	某些片上無源，PCB	對於邊緣效應，3D金屬和介質精確建模存在計算時間長，消耗內存大等問題
3D	準靜態	低頻	鏈接器和封裝的低頻建模	高頻偏差大，趨膚效應偏差大
3D	全波	理論上適合任意結構，只要計算機計算能力足夠	芯片、封裝、電路板、射頻微波器件、天線	計算時間長，消耗內存大，通常建議16G內存以上

 

2. 按維度分類場求解器

• 2D求解器

        2D 求解器是最簡單和效率最高的，只適合簡單應用。例如，2D靜態求解器能夠提取片上互連線橫截面的電容參數。2D準靜態求解器能夠提取均勻多導體傳輸線橫截 面上單位長度低頻RLGC參數。2D全波求解器能夠提取均勻多導體傳輸線橫截面上的全頻RLGC參數。典型的2D全波計算方法有：2D邊界元法、2D有限差分法、2D有限元法。

• 2.5D求解器

        2.5D 的概念是20世紀80年代Rautio在美國雪城大學攻讀博士期間提出的，當時他在Roger教授手下作GE電子實驗室支助下作平面MOM算法的研究。在 那個年代，人們只有2D電流（XY方向）和3D電磁場的概念。GE電子實驗室的人比較關注電流，稱其爲2D，而Roger教授關注是電磁場，並稱之爲3D 的。Rautio和這兩個團隊都有合做，當時，他正在讀一本關於分形理論的書，書裏清晰定義了分維度的概念，因而，Rautio獲得啓發，提出2.5D的 概念，這也是分形維度理論第一次被用到電磁場領域。

        「2.5D solver」的意思是，這個solver使用的是全波公式，公式中包含多層介質中的6個電磁場份量（XYZ方向電場E和XYZ方磁場H），以及2個傳導 電流份量（如X和Y方向）。其利用多層介質的全波格林函數，採用矩量法的步驟，將一個3D問題縮減爲金屬表面問題。這樣就不須要對整個三維空間劃分網格， 只須要在金屬表面劃分網格便可。此外，2.5D意味着傳輸線的金屬厚度被忽略，這種作法對線寬大於金屬厚度的平面電路結構（PCB應用）能夠很好地近似， 甚至能夠說半解格林函數的精度在計算多層介質結構方面比通常3D solver還要高。

        考慮了金屬厚度幷包含Z方向傳導電流的2.5D solver稱做爲3D平面算法。這裏的3D的意思是這個solver能夠用做多層介質的公司來求解一些3D結構，好比傳輸線或者過孔。可是 Bondwire是不能夠用這種方法來作的，全波意味着輻射被考慮在公式裏面，或者說，置換電流份量被考慮在Maxwell方程組裏面。

        2.5D TEM求解器適合用於結構中以TEM模式爲主的狀況，即在電磁場傳播方向沒有電場和磁場份量，工做頻率比較低的電源平面對結構符合這一狀況。可是，3D效應，共平面設置或缺乏參考平面的設計都會下降這種方法的精度。

        2.5D BEM/MOM 求解器是一種全波求解器，它基於邊界元法或矩量法公式，利用層狀介質格林函數來求解，一般假設介質層數無窮大的平面。可是，對於封裝和封裝-電路板鏈接處 存在的3D邊緣效應，3D幾何結構和有限大介質層精度不高。表明軟件Ansys Designer，MicroWave Office，IE3D,  Feko，Sonnet。

• 3D求解器

        3D準靜態求解器適合芯片-封裝-電路板系統中出現大多數3D結構，但對低頻有效，高頻結果偏差較大，若是結構較大，計算時間會很長，消耗內存也比較大。

        3D 全波求解器是最能準確模型實際狀況的求解器。它能夠模擬RF、SI、PI、EMI等所涵蓋的全部效應，典型的3D全波求解器有：邊界元法 （Si9000）、有限差分法（CST、Keysight EMpro/FDTD）和有限元法(Ansys HFSS、Keysight Empro/ FEM)。

維度	適用範圍	舉例	侷限性
2D	求解在XYZ方向有變化的幾何結構	無限長傳輸線橫截面	不能求解Z方向過孔
2.5D	能夠解決在3個維度都有變化的結構，但其中一個維度嚴格限制	多層介質結構，PCB	可求解過孔，但Z方向不能有幾何結構變化
3D	能夠解決在3個維度任意變化結構	任意結構，好比微波射頻器件，Bondwire	耗內存和時間，模型太大或設置不當會形成不收斂

 

3. 按逼近類型分類場求解器

• 準靜態電磁算法

        它須要三維結構模型。所謂「準靜」就是指系統必定支持靜電場和穩恆電流存在，表現爲靜電場和靜磁場的場型，更精確地講，磁通變化率或位移電流很小，故在麥克 斯韋方程組中分別能夠忽略B和D對時間的偏導項，對應的麥克斯韋方程分別被稱之爲準靜電和準靜磁。由此推導出的算法就被稱之爲準靜電算法和準靜磁算法。這類算法主要用於工頻或低頻電力系統或電機設備中的EMC仿真。如：變流器母線與機櫃間分佈參數的提取即可採用準靜電磁算法完成。對於高壓絕緣裝置顯然可採 用準靜電近似，而大電流設備，如變流器、電機、變壓器等，採用準靜磁算法是較可取的。

• 全波電磁算法

        簡單地講就是求解麥克斯韋方程完整形式的算法。全波算法又分時域和頻域算法。

        有限差分法（FD）、有限積分法（FI）、傳輸線矩陣法（TLM）、有限元法 （FEM）、邊界元法（BEM）、矩量法（MoM）和多層快速多極子法（MLFMM）均屬於全波算法。全部的全波算法均須要對仿真區域進行體網格或面網格分割。前三種方法（FD、FI和TLM法）主要是時域顯式算法，且稀疏矩陣，仿真時間與內存均正比於網格數一次方；後四種方法（FEM、BEM、MoM和 MLFMM）均爲頻域隱式算法。FEM也爲稀疏矩陣，仿真時間和內存正比於網格數的平方；而BEM和MoM因爲是密集矩陣，因此時間與內存正比是網格數的 三次方。FD、FI、TLM和FEM適用於任意結構任意介質，BEM和MoM適用於任意結構但須均勻非旋介質分佈，而MLFMM則主要適用於金屬凸結構， 儘管MLFMM具備超線性的網格收斂性，即你們熟知的NlogN計算量。

        全波算法又稱低頻或精確算法，它是求解電磁兼容問題的精確方法。對 於給定的計算機硬件資源，此類方法所能仿真的電尺寸有其上限。通常來講，在沒有任何限制條件下，即任意結構任意材料下，TLM和FI可以仿真的電尺寸最 大，其次是FD，再者爲FEM，最後是MoM和BEM。若對於金屬凸結構而言，MLFMM則是可以仿真電尺寸最大的全波算法。

        時域算法的固有優點在於它很是適用於超寬帶仿真。電磁兼容自己就是一個超寬帶問題，如國軍標GJB151A RE102涉及頻段爲10kHz直至40GHz六個量級的極寬頻帶。另外，對於瞬態電磁效應的仿真，如強電磁脈衝照射下線纜線束上所感應起來的瞬態衝擊電 壓的仿真，採用時域算法是天然、高效、準確的。

 

4. 電磁場求解器算法

        電磁模型提取的方式有許多的理論，還沒有有哪種理論的準確度與效率擁有絕對的優點，不一樣的算法有不一樣的優勢，而且適用於不一樣的應用。

 

• 矩量法（MoM）

        MoM是頻域的一種算法，算法的特性讓MoM適用於分析多層平面結構的問題，如印製電路板PCB的走線分析、系統級封裝(SiP)和集成電路的封裝分析。

        在衆多的電磁模擬理論中，MoM是其中一種比較不容易用程序實現的一種算法。由於這種算法必須頗有技巧地解決格林函數(Green’s Functions)和電磁耦合的積分方程。麥克斯韋方程會轉換成積分方程，此種轉換的特性就是，MoM主要的未知項是金屬表面的電流分佈，而其餘電磁模擬算法的主要的未知項是結構體中的電場和磁場。

        因爲只有金屬表面的電六分部是必需要被考慮到網格中，所以網格數目能夠大量下降，這項技巧讓MoM能夠更加有效率地計算複雜的結構，但也被限制於只能分析多層平面的問題(3D Planer)，遇到3D立體結構就不適用。

        隨着電子產品複雜度的提高，電磁模擬碰到的運算時間太久而沒法解決複雜度很高的問題。完成電磁仿真須要作大量的矩陣運算，針對MoM而言，主要的瓶頸在於如何計算和存儲大量的耦合矩陣。一個有N個未知項的網絡，在內存中就須要花費N²比例的空間，同時運算時間會成N³(若是使用Direct Solver)或N²(若是使用Iterative Solver)的比例增長。

        下圖爲ADS軟件隨着版本更新，改進軟件算法來優化仿真速度和內存使用率的參考值。

• 有限元法（FEM）

        相對於MoM，FEM算法的應用範圍就普遍得多，由於FEM是全3D的算法，能夠針對任意形狀的結構分析，如封裝結構種的Bond-wire、Solder-balls或是其餘Z軸方向是任意形態的結構。FEM仿真器還能夠仿真介質塊或有限尺寸的基片。許多應用(例如諧振腔設計)須要此功能。FEM也是一種頻域技術。可是FEM一般仿真時間比MoM長，尤爲是在多層平面結構的部分。

        下圖顯示的有Bond-wire的封裝結構，就適合採用FEM分析，而不能用MoM分析。

        FEM算法會把一個大的結構分紅許許多多的小的區域，並採用立體的網絡方式來計算每一個小區域的場強。幾何模型能夠自動分割爲數目龐大的四面體，每一個四面體由4個三角形構成。這些四面體稱爲有限元網格。三角錐的頂端正切與三個邊的場量，和每一個邊的中心點的場量都會被存儲下來。而每一個三角錐內部的場型就能夠經過內插方式來計算。經過這樣把大結構轉換成小結構的方式，麥克斯韋方程就能夠轉成矩陣的問題，並經過數學計算提取出任意形狀的S參數。下圖所示爲立體結構的網格示意圖。

        FEM判斷收斂的方法一般是經過先後兩次運算結果對比，若是偏差範圍小於必定規範，就能夠判斷是接近於收斂。若是偏差仍是過大，將會從新定義網格讓網格密度提升以加強收斂性。但在立體結構種，有些區域如結構表面、角落、材質交界面，會有收斂不佳的狀況，致使FEM算法會消耗掉大量的內存與計算時間。因此近年來藉助多核心的運算外，改進結構的收斂性與矩陣求解效率也是很重要的議題。

• 時域有限差分法（FDTD）

        FDTD也是一種全波形式的電磁模擬算法，可用於分析任意3D的結構，直接以時域的方式針對麥克斯韋方程式來求解，而矩陣中的未知項就像FEM同樣，是立體結構空間中的電場與磁場。然而，FEM的網絡是三角錐形態，FDTD的網格一般是以正立方體(Yee) 的方式來表示。運用時域實時運算的程序，在電磁波穿過三維結構的過程當中，FDTD方法能夠隨時間的推移更新場強值，實時地更新立體空間中的電場與磁場值，因此不像FEM必須完成全部收斂和後處理運算才能得出S參數。FDTD能夠隨時更新目前運算出來的S參數值。FDTD仿真能夠提供極寬頻率範圍內的數據。

        因爲其簡單、可靠的特性以及能夠處理線性與非線性材料和器件的能力，FDTD 可用於衆多應用研究: 天線設計、微波電路、生物/電磁效應、EMC/EMI問題和光電等。FDTD屬於固有的並行算法，可以充分利用最新的CPU(通用處理器)和GPU(圖形處理器)硬件資源。如今複雜的工程仿真問題速度能夠比傳統的CPU快20~40倍。

• 邊界元法（BEM）

        邊界元法是在有限元法以後發展起來的一種較精確有效的方法 。 又稱邊界積分方程-邊界元法。它以定義在邊界上的邊界積分方程爲控制方程，經過對邊界分元插值離散，化爲代數方程組求解。它與基於偏微分方程的區域解法相比，因爲下降了問題的維數，而顯著下降了自由度數，邊界的離散也比區域的離散方便得多，可用較簡單的單元準確地模擬邊界形狀，最終獲得階數較低的線性代數方程組。又因爲它利用微分算子的解析的基本解做爲邊界積分方程的核函數 ，而具備解析與數值相結合的特色，一般具備較高的精度。特別是對於邊界變量變化梯度較大的問題 ，如應力集中問題 ，或邊界變量出現奇異性的裂紋問題，邊界元法被公認爲比有限元法更加精確高效。因爲邊界元法所利用的微分算子基本解能自動知足無限遠處的條件，於是邊界元法特別便於處理無限域以及半無限域問題。邊界元法的主要缺點是它的應用範圍以存在相應微分算子的基本解爲前提，對於非均勻介質等問題難以應用，故其適用範圍遠不若有限元法普遍，並且一般由它創建的求解代數方程組的係數陣是非對稱滿陣，對解題規模產生較大限制。對通常的非線性問題，因爲在方程中會出現域內積分項，從而部分抵消了邊界元法只要離散邊界的優勢。

 

參考資料：