算法 -- 異或運算符

 

參考：http://longcxm.iteye.com/blog/1461543

　　　http://www.41443.com/HTML/Java/20150131/309079.html

　　　http://www.cnblogs.com/suoloveyou/archive/2012/04/25/2470292.html

在java程序裏面的異或用法： 

相同輸出0，不一樣輸出1，例如： 
System.out.println(1^1); 輸出0 
System.out.println(1^2)；輸出3，由於最後2個低位都不同，全部輸出3 

    異域的概念是相同爲0不一樣爲1.若是兩個數值異或後的值相同，異或前可能不一樣。 
好比二進制：0010^0001=0011 而0000^0011=0011。 異或要慎用。 


    已到有意思的題目：不少成對出現數字保存在磁盤文件中，注意成對的數字不必定是相鄰的，如2, 3, 4, 3, 4, 2……，因爲意外有一個數字消失了，如何儘快的找到是哪一個數字消失了？ 

   因爲有一個數字消失了，那一定有一個數只出現一次並且其它數字都出現了偶數次。用搜索來作就不必了，利用異或運算的兩個特性——1.本身與本身異或結果爲0，2.異或知足 
交換律。 

public static int findLost(int a[]){ 
        int result=0; 
        for(int i=0;i<a.length;i++) { 
            result^=a[i]; 
        } 
        return result; 
} 

那麼若是：如今變成存在2個不同的數字？

假設成x，y，那麼能夠O(n)求出x^y，由於x,y不一樣，因此異或的結果不爲0，當作2進制數，那麼找到第一位爲1 的位置，將這個位置設置爲劃分點，數組裏全部這個位置爲1 的異或一次，全部爲0的再異或一次，最終求出的兩個即爲兩個獨特的數字。

其實，我有個疑問？爲何多個不一樣的數字進行異或能去除重複的數字，通過搜索，原來還要根據異或運算的性質來講

 

異或是一種基於二進制的位運算，用符號XOR或者 ^ 表示，其運算法則是對運算符兩側數的每個二進制位，同值取0，異值取1。它與布爾運算的區別在於，當運算符兩側均爲1時，布爾運算的結果爲1，異或運算的結果爲0。

簡單理解就是不進位加法，如1+1=0，,0+0=0,1+0=1。

性質

一、交換律

二、結合律（即(a^b)^c == a^(b^c)）

三、對於任何數x，都有x^x=0，x^0=x

四、自反性 A XOR B XOR B = A xor  0 = A

異或運算最多見於多項式除法，不過它最重要的性質仍是自反性：A XOR B XOR B = A，即對給定的數A，用一樣的運算因子（B）做兩次異或運算後仍獲得A自己。這是一個神奇的性質，利用這個性質，能夠得到許多有趣的應用。 例如，全部的程序教科書都會向初學者指出，要交換兩個變量的值，必需要引入一箇中間變量。但若是使用異或，就能夠節約一個變量的存儲空間： 設有A,B兩個變量，存儲的值分別爲a，b，則如下三行表達式將互換他們的值 表達式 （值） ：

 A=A XOR B (a XOR b)

 B=B XOR A (b XOR a XOR b = a) 

 A=A XOR B (a XOR b XOR a = b)

 相似地，該運算還能夠應用在加密，數據傳輸，校驗等等許多領域。

運用距離：

1-1000放在含有1001個元素的數組中，只有惟一的一個元素值重複，其它均只出現
一次。每一個數組元素只能訪問一次，設計一個算法，將它找出來；不用輔助存儲空
間，可否設計一個算法實現？

解法1、顯然已經有人提出了一個比較精彩的解法，將全部數加起來，減去1+2+...+1000的和。
這個算法已經足夠完美了，相信出題者的標準答案也就是這個算法，惟一的問題是，若是數列過大，則可能會致使溢出。
解法2、異或就沒有這個問題，而且性能更好。
將全部的數所有異或，獲得的結果與1^2^3^...^1000的結果進行異或，獲得的結果就是重複數。

可是這個算法雖然很簡單，但證實起來並非一件容易的事情。這與異或運算的幾個特性有關係。
首先是異或運算知足交換律、結合律。
因此，1^2^...^n^...^n^...^1000，不管這兩個n出如今什麼位置，均可以轉換成爲1^2^...^1000^(n^n)的形式。

其次，對於任何數x，都有x^x=0，x^0=x。
因此 1^2^...^n^...^n^...^1000 = 1^2^...^1000^(n^n)= 1^2^...^1000^0 = 1^2^...^1000（即序列中除了n的全部數的異或）。

令，1^2^...^1000（序列中不包含n）的結果爲T
則1^2^...^1000（序列中包含n）的結果就是T^n。
T^(T^n)=n。
因此，將全部的數所有異或，獲得的結果與1^2^3^...^1000的結果進行異或，獲得的結果就是重複數。

固然有人會說，1+2+...+1000的結果有高斯定律能夠快速計算，但實際上1^2^...^1000的結果也是有規律的，算法比高斯定律還該簡單的多。

 

google面試題的變形：一個數組存放若干整數，一個數出現奇數次，其他數均出現偶數次，找出這個出現奇數次的數？