【物理】電場的力和能的性質

前言

​ 本文主要講解處理高考物理中電場相關問題的方法，並給出例題示範。可能講的比較簡單，但願能起到拋磚引玉的做用。本文會對靜電場的概念和公式進行梳理，並給出在考題中的應用。

概念和公式

電場強度和電場力

概念

​ 電場是存在於電荷周圍能傳遞電荷與電荷之間相互做用的物理場。在電荷周圍總有電場存在；同時電場對場中其餘電荷發生力的做用。觀察者相對於電荷靜止時所觀察到的場稱爲靜電場。 （維基百科）

​ 電場力是當電荷置於電場中所受到的做用力。或是在電場中爲移動自由電荷所施加的做用力。其大小可由庫侖定律得出。當有多個電荷同時做用時，其大小及方向遵循矢量運算規則。 （維基百科）

​ 從上述維基百科的解釋，咱們能夠粗略的得出如下結論：

• 電場是客觀存在的物質；

• 電場力是一種以電場爲施力物體的做用力；

• 電場力大小由得出庫侖定律；

• 既然是力，那麼天然聽從力的矢量合成法則。

公式

• 公式 \(\rm{I}\) （庫侖定律）

  \[ F=k{q_1q_2\over r^2} \]
  ​ 其中 \(q_1,q_2\) 表示兩個點電荷的電量，\(r\) 表示距離，\(k\) 是靜電力常數，約等於 \(9\times10^9 N\cdot m^2\cdot C^{-2}\) 。

• 公式 \(\rm{II}\)
  \[ E={F\over q} \]
  ​ 這即是電場強度 \(E\) 的比值定義式，與電場力和試探電荷電量均無關。聯立 \({\rm I},{\rm II}\) 能夠解得\(\displaystyle E=k{q\over r^2}\)。

• 公式 \(\rm III\) （電場疊加原理）
  \[ {\bold E}= {\sum_i} {\bold E_i}={\bold E_1}+{\bold E_2}+{\bold E_3}+\cdots \]
  ​ 電場強度和電場力同樣，都是矢量，故知足矢量合成法則。高考中雖說的是隻限於勾股定理的矢量合成，可是，餘弦定理也是能強行導出來的嘛（逃）。

電勢和電勢能

概念

​ 假設檢驗電荷從無窮遠位置，通過任意路徑，克服電場力，緩慢地移動到某位置，則在這位置的電勢，等於因遷移所作的機械功與檢驗電荷量的比值。 （維基百科）

​ 在靜電學裏，電勢能是處於電場的電荷分佈所具備的勢能，與電荷分佈在系統內部的組態有關。 （維基百科）

​ 不難發現，因爲電場的存在，電荷在某一電勢中，對外表現出電勢能。電勢能與引力勢能相同，是一個相對的量，人爲設定零勢能。電勢與電勢能均爲標量，知足代數運算法則。

公式

• 公式 \(\rm{I}\)
  \[ E_p=\varphi q \]
  ​ 其中 \(\varphi\) 表示電勢，\(q\) 表示點電荷電量，\(E_p\) 表示該點電荷表現出的電勢能。

• 公式 \(\rm II\)
  \[ \varphi = k{q\over r} \]
  ​ 上式爲某一電量爲 \(q\) 的點電荷，若設定無窮遠爲零勢能，在距離 \(r\) 的電勢。這條公式在課本里沒有推導，但在題目中比較經常使用，我的給出如下推導：

  ​ 設 \(q_1\) 爲中心電荷，\(q_2\) 爲試探電荷，求 \(q_2\) 在 \(r\) 位置的電勢。
  \[ \begin{align*} \varphi&={\displaystyle \int_r^{+\infty} k{q_1q_2\over x^2}{\rm d}x\over q_2}\\ &=kq_1\int_r^{+\infty}{1\over x^2}{\rm d}x\\ &=kq_1{\big (}0-(-{1\over r}){\big)}\\ &=k{q_1\over r} \end{align*} \]

• 公式 \(\rm III\)
  \[ U=-\Delta\varphi \]
  ​ \(U\) 是一個過程量，表示電勢差。\(\varphi\) 是一個狀態量，而 \(\Delta \varphi\) 便表示它的變化量。注意區分 \(U\) 和 \(\varphi\) 。

  ​ 相應的，咱們也有 \(W=-\Delta E_p\)，咱們能夠經過本式同除以 \(q\) 獲得上式。

電場強度、電場力與電勢、電勢能之間的關係

​ 通常的，咱們有下列公式：
\[ \begin{cases} U =Ed\\ F =Eq\\ W =Uq\\ W =Fd \end{cases} \]
​ 下圖是一個直觀展現上面四個量關係的圖

​ 想必上圖已經至關清楚得描述了這四個量之間的相對關係了。特別指出，\(U,W\) 是兩個過程量，相對的狀態量爲 \(\varphi,E_p\)。那麼到如今，關於靜電場的基本公式已梳理完畢。

一些深刻的理解

​ 讀者是否還記得「電場線」和「等勢線」的概念？電場線是用來描述電場的，等勢線是用來描述電勢的，它們的幾何關係是等勢線垂直電勢。

​ 假設 \({\rm d}x\) 是很小的一段位移，而 \(d\varphi\) 是該段位移的電勢變化量，設 \(U\) 爲該位移的電勢差，咱們有
\[ \begin{align*} E&= {U\over {\rm d} x}\\ &= -{{\rm d}\varphi\over {\rm d}x} \end{align*} \]
​ 咱們先無論正負號的問題。不難發現，若是做出 \(\varphi-x\) 的圖像，那麼電場強度 \(E\) 的大小即是 \(\varphi\) 對 \(x\) 的導數的絕對值，相反的，\(E\) 對 \(x\) 求積分便獲得 \(\varphi\)。 因而咱們從理論上證到了，\(\varphi-x\) 曲線在某位置斜率越大，那麼該位置電場強度越大。

​ 若是把電勢能比喻成重力勢能，那麼等勢線就能夠想象成地理中的等高線，電場線所指的方向，其實就是一個小物體在山坡上的下滑方向。因而，咱們獲得 \(\varphi-x\) 甚至是 \(\varphi-x,y\) 的圖像後，順着斜坡的方向即是電場方向。

​ 下圖就是一個正點電荷的二維電場的圖像，方程爲 \(\displaystyle \varphi=k{q\over \sqrt{x^2+y^2}}\) 。看上去像是一個「空間反比例函數」。

​ 咱們知道，電勢是標量，那麼若是有多個點電荷，它們在空間產生的電勢是直接相加的。而電場強度是標量，因此是矢量相加的。下圖是一個正點電荷和一個負點電荷在二維平面上產生的電場圖像。

​ 平時若是遇到圖像題，多是 \(E_p-x,v-x,\varphi-x,E-x\) 等的圖像，其實道理都差很少。而作比較電場強度和電勢大小的題，有時腦海中有圖像會讓問題清晰不少。

例題和題解

• 在真空中 \(x\) 軸上的原點處和 \(x=6a\) 處分別固定一個點電荷 M、N，在 \(x=2a\) 處由靜止釋放一個正點電荷 P ,假設點電荷 P 只受電場力做用沿 \(x\) 軸運動，獲得點電荷 P 速度大小與其在 \(x\) 軸上的位置關係如圖所示（其中在 \(x=4a\) 處速度最大），則下列說法正確的是 (　　)

A. 點電荷 M、N 必定都爲負電荷

B. 點電荷 M、N 必定爲異種電荷

C. 點電荷 M、N 所帶電荷量的絕對值之比爲 \(4∶1\)

D. \(x=4a\) 處的電場強度不必定爲零

​ 這是一道典型的圖像題。題目給的是 \(v-x\) 圖像，但由 \(\displaystyle {E_k={1\over 2}mv^2}\) ，咱們發現 \(E_k-x\) 的圖像增減性與上圖相同。由由於該點電荷只受電場力做用，故咱們獲得 \(E_k+E_p\) 的值不變，因而，\(E_p\) 增減性與上圖相反，由由於正電荷，\(\varphi\) 增減性與上圖相反。根據以上分析，咱們能夠畫出 \(\varphi-x\) 的圖像了。

​ 繪製出圖像發現是一個向下凹的曲線。咱們已經梳理過度析電勢疊加的方法，要生成該曲線，顯然須要兩個正點電荷，故 \(\rm A,B\) 錯誤。因爲在 \(x=4a\) 點，曲線的斜率爲 \(0\)，故咱們獲得該點電場強度爲 \(0\)，由庫侖定律得 \(\displaystyle k{q_M\over (4a)^2}=k{q_N\over (6a-4a)^2}\)，解得 \(q_M:q_N=4:1\)。故 \(\rm C\) 正確，\(\rm D\) 錯誤。

• （多選）如圖所示，在平面直角座標系 \(xOy\) 的 \((-9,0),(9,0)\) 兩點處固定着電荷量分別爲 \(+q,-4q\) 的兩個點電荷，\(A,B\) 爲 \(y\) 軸上兩點,座標分別爲 \((0,1),(0,-5)\)，M、N、P、Q四個點是以正點電荷爲中心的正方形的四個頂點。在上述兩個點電荷所造成的電場中，下列說法正確的是 (　　)

A. \(x=-3{\rm cm}\) 處的電場強度爲 \(0\)

B. B點的電勢高於A點的電勢，A點的電場強度大於B點的電場強度

C. N點的電勢與Q點的電勢相等

D. 將某一正電荷從N點移動到M點電場力所作的功小於將其從P點移動到Q點電場力所作的功

​ 注意電場強度是一個矢量，而電勢是標量，結合 \(\displaystyle F=k{q_1q_2\over r^2}\) 以及 \(\displaystyle \varphi=k{q\over r}\) 這兩條式子能夠獲得選項A、C是錯誤的。

​ A點與B點相比，不只受到兩個點電荷的電場強度都大，並且夾角還更小，故合稱得的總電場強度必定更大。對於電勢大小，有兩種分析方法：令無窮遠爲零電勢，A點離兩個點電荷距離相同，但 \(-4q\) 的電荷量絕對值要更大一些，故A點電勢爲負值，而 \(B\) 點離兩點電荷的距離是等比例的變大的，故B點電勢大於A點電勢；或者你發現 \(-4q\) 的電荷量絕對值大，那麼它對等勢線的影響確定是更大的，故過A、B的等勢線爲向右開口的曲線，能獲得一樣的結論。故B是正確的。

​ D項中，因爲對稱性，兩次移動中 \(+q\) 做的功是同樣的，故只看 \(-4q\) ，比較顯然，因爲第一次移動時離 \(-4q\) 的距離沒有第二次近，故第一次平均電場力大，而移動距離相同，因而D項正確。

​ 當初作這題的時候，我發現了一個結論。令無窮遠處電勢爲零，電勢能爲零的電勢線是什麼形狀的？

​ 咱們用 \(q_1,q_2\) 表示兩個點電荷，\(r_1,r_2\) 分別表示點離兩點電荷的距離，電勢能爲零的點知足如下條件。
\[ k{q_1\over r_1}+k{q_2\over r_2}=0 \]
​ 化簡得 \(\displaystyle {r_1\over r_2}=-{q_1\over q_2}\)，在 \(q_1,q_2\) 爲異種電荷，且電荷量不相等的狀況下。這條表達式，居然是圓的第二定義，也就是阿氏圓。

​ 因而，通過稍稍拓展以後，我出了下面這道題（可能會有沒考慮到的地方）：

• 空間中有兩個點電荷 \(q_1,q_2\) ，該空間的等勢面中存在且僅存在一個球面，且該球面的直徑與 \(q_1,q_2\) 的距離相等，求 \(q_1\) 與 \(q_2\) 電荷量之比（假設 \(|q_1|>|q_2|\)）。

​ 大概說一下思路吧。首先，拍扁成二維平面，原題等價於該平面的等勢線中存在且僅存在一個圓，且該圓的直徑與 \(q_1,q_2\) 距離相等。而後，由上述的結論可得，設 \(\displaystyle \lambda ={r_1\over r_2}\) ，原題所求的 \(\displaystyle {q_1\over q_2}\) 之比其實就是 \(-\lambda\) 。經過設一些長度，咱們能夠解方程解得 \(\lambda=\sqrt2+1\)，因而咱們獲得原題答案爲 \(-\sqrt2 -1\)。

​ 而後我問了班上的一個物競生，他知道這個東西，而且告訴我，圓心與兩點電荷連線長度的乘積等於半徑的平方。我試了一下，確實是這樣的，可能這個結論能用在之後的數學題裏吧？

總結

​ 感受電場出的選擇題仍是挺多的，但若是能把握好概念，理解較深刻，仍是能比較快的寫出來的。嘛，仍是得多作題，總結就複習的時候看看得了。