計算理論101：這多是講FSM的最生動的一篇了

時間 2019-12-05

標籤計算理論 fsm 生動一篇简体版

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本文參考了：java

簡介

這是《計算理論101》系列的第一篇，將從最基本的有限狀態機講起。主要參考的課程和書籍有： Introduction to the Theory of Computation 3rd Edition 和【Stonehill college CS】Introduction to the Theory of Computation 。git

爲何要學習『計算理論』？

如 Stonehill college 的 Professor of Computer Science Shai Simonson所說，這多是計算機課程中最抽象的一門了，但倒是任何 computer scientist（我以爲能夠延生至任何真正熱愛 CS 的人）至少須要瞭解的一門課。這門課不會教你如何寫代碼，也不會教你如何作一個計算機，而是着重於『計算機科學』中的『科學』兩個字，去了解計算機科學發展幾十年來前人閃耀的思想。程序員

還有一點，我認爲也是很重要的，那就是學習新知識那份最單純的快樂。github

好了，廢話很少說，開始正題~正則表達式

什麼是有限狀態機

以一個程序員的角度，個人理解就是內存有限的一個機器，上面定義了一些函數，能夠從一個狀態跳轉到另外一個狀態。嚴格的數學定義，一個有限狀態機能夠定義爲一個五元組，以下圖表示（來源於Introduction to the Theory of Computation 3rd Edition P35）：算法

能夠用圖直觀地表示：下圖這個狀態機，圓圈表示的是可能出現的狀態，可能輸入的值爲0和1，裝換函數就是那些箭頭，開始狀態爲 q1，accept 狀態爲 q2（用雙圓圈表示）。編程

一個有限狀態機的定義其實就是這麼簡單。微信

有限狀態機應用

有限狀態機一個最顯然的特色就是內存有限，沒法記憶全部的歷史輸入，因此它可以解決的問題是有限的。至於什麼問題可以解決，什麼不能，後面再說。先來看看有限狀態機的應用。函數

嵌入式領域：自動門

這是《Introduction to the Theory of Computation 3rd Edition》書中提到的一個例子。gitlab

下圖中，門口和門背各有一個感應器（front 爲門口，rear 爲門背）。門的控制開關一共有兩個狀態：OPEN 和 CLOSED，輸入一共有四種狀況：FRONT（門口有人）、REAR（門背有人）、BOTH（門口門背都有人）、NEITHER（兩邊都沒人）。

有一個圖表示狀態轉換過程爲：

稍微解釋一下：

處於 CLOSED 狀態，只有前面的 pad 檢測到有人時纔會打開，從 CLOSED 狀態變爲 OPEN 狀態，其他狀況下維持狀態不變。
處於 OPEN 狀態時，只有當兩邊都沒有檢測到人時，才轉換爲 CLOSED 狀態。

我對於這個門的設計表示懷疑，處於 CLOSED 狀態時，難道 REAR PAD 檢測到人不該該變成 OPEN 狀態嗎？也許是我哪裏理解得不對，有童鞋知道的歡迎指出。不過這一點不影響咱們對於有限自動機的理解。

這個自動門其實就能夠看做是一個最簡單的計算機了，它只有一個 bit 的存儲空間，能夠記錄當前門的狀態是OPEN 仍是 CLOSED。相似的還有電梯，飲料機等等。

事實上，最開始咱們骨灰級的程序員（計算機科學家）們，面對的就是相似的狀況，存儲空間極其有限。如今的不少嵌入式設備，內存一樣很是有限，因此有限狀態機仍是有用武之地的。

編程領域：正則表達式

這裏推薦一個網站： regexper.com/ ，可以很是直觀地將正則表達式還原爲一個 finite state machine。另外開源地址以下： gitlab.com/javallone/r… 。

舉幾個正則表達式例子：

匹配手機號：/^1(3|4|5|7|8)\d{9}$/：

匹配郵箱：^([a-zA-Z0-9_\-\.]+)@([a-zA-Z0-9_\-\.]+)\.([a-zA-Z]{2,5})$

匹配 IP 地址：^((25[0-5]|2[0-4][0-9]|[01]?[0-9][0-9]?)\.){3}(25[0-5]|2[0-4][0-9]|[01]?[0-9][0-9]?)$

這裏不深刻代碼層，否則這篇文章就講不完了。有興趣的童鞋本身 Google 一下，後面有機會可能會再次講到。

其餘

這個 stackexchange 的連接裏面提到了不少： softwareengineering.stackexchange.com/questions/4…

設計有限狀態機

實例一

設計一個FSM，可以識別被3整除的二進制字符串。好比accept 1001，reject 1101。首先，咱們能夠把全部餘數（reminder）的可能性看成狀態，也就是三個狀態：0，1，2，其中0時 accept 狀態。而後分析一下狀態轉換是怎麼樣的？二進制數，末位添加一個0表示乘以2，末位加1表示乘以2再加1，對於餘數，一樣是乘2或者乘2加1，只不過餘數會『進位』。

從起始狀態開始：最開始沒有輸入，也就是0。
對於狀態0：輸入爲0時維持不變，爲1會跳轉到1。

對於狀態1，輸入爲0時，餘數要乘以2，變成了2；輸入爲1時，餘數乘2加1，結果變爲0（3）。

對於狀態2：輸入0乘以2，變爲1（4）；輸入1乘以2再加一，變爲2（5）。

這樣就作完了，一個用普通算法很難解決的問題，用FSM是否是很簡單？會設計識別能被3整除的 FSM，接下來被四、五、六、七、8整除的是否是也會了？這裏，被2^k(k=1,2,3,4)整除還有一個更簡單的方法：轉換爲判斷末位至少有k 個0。

動手來畫一畫：

實例二

設計一個 FSM，可以識別能被4整除的二進制字符串（末尾至少有兩個0）。這裏把狀態設計爲目前爲止末尾收到了幾個0，一共有三個狀態：0個0，1個0，2個0。

有這個還能夠推廣到模式字符串識別，好比要識別特定子字符串，請看下面這個例子。

實例三

設計一個 FSM，可以識別子字符串abcab。

爲了簡單起見，這裏把圓圈省略掉了，同時把中間的某些節點的狀態轉換忽略掉了。

最開始，狀態爲未匹配任意字符。
在起始狀態：輸入 a，跳轉到 a；輸入其餘狀態保持不變。
在狀態 a：輸入 b 跳轉到 ab；輸入 a 維持狀態不變；輸入其餘跳回起始狀態。
在狀態 abc：輸入 a 跳轉到 abca；不然跳回起始狀態。
在狀態 abca：輸入 b 跳轉到 abcab，也就是accept 狀態；輸入 a 跳轉回 a（注意不是跳轉回起始狀態，由於如今是 abcaa，也就相等於 a）；輸入其餘跳轉回起始狀態。
在狀態 abcab：不管輸入什麼，都維持不變，由於當前已經匹配成功了。